Successione monotona crescente: esercizio
buona sera a tutti ho una successione di cui devo verificare se essa è monotona crescente.....
l'esercizio è: $a_n=n/(n+2), n in NN$;
ora non so da dove partire, avevo pensato di fare il limite all'infinito della sucessione per verificare la crescenza e poi di vedere se se era monotona, ma già so che sbaglio..qualcuno può darmi una mano o un cosiglio? grazie infinite....
l'esercizio è: $a_n=n/(n+2), n in NN$;
ora non so da dove partire, avevo pensato di fare il limite all'infinito della sucessione per verificare la crescenza e poi di vedere se se era monotona, ma già so che sbaglio..qualcuno può darmi una mano o un cosiglio? grazie infinite....
Risposte
Devi provare che: [tex]\forall n\in\mathbb{N},\,\frac{(n+1)}{(n+1)+2}=a_{n+1}\geq a_n=\frac{n}{n+2}[/tex]
cioè devo risolvere l'equazioni:$(n+1)/((n+1)+2)=a_{n+1}$ e $a_n=n/(n+2)$ e poi confrontarle tra di loro se $a_(n+1)>=a_n$ allora la funzione è monotona crescente??? ...
ma così si vede se è solo crescente oppure anche se è monotona?
ma così si vede se è solo crescente oppure anche se è monotona?
Veramente è una disequazione che ti permette di vedere solo la monotona crescenza; non è questo il tuo obiettivo?
si si è quello, quindi devo risolvere la disequazione: $(n+1)/((n+1)+2)>=n/(n+2)$?
forse ho capito io ho: $(n+1)/((n+1)+2)=a_(n+1)>=a_n=n/(n+2)$ moltiplico per i loro denominatori e ho: $((n+1)+2)(n+1)/((n+1)+2)=a_(n+1)>=a_n=(n+2)n/(n+2)$ ed ottengo: $(n+1)=a_(n+1)>=a_n=n$ e quindi è verificata...
non avendo il risultato secondo voi ho fatto bene?
non avendo il risultato secondo voi ho fatto bene?
No, non hai fatto bene seppur tu abbia capito; devi fare il minimo comune multiplo tra i denominatori, puoi anche levare le parentesi nel primo denominatore, le ho messe per farti rendere conto di quanto ho fatto!
Banale disequazione che dovresti risolvere applicando il principio del trasporto (in una disequazione fratta non si può semplificare il $m.c.m.$)
$(n+1)/(n+3)>=n/(n+2)$ $AA n in NN$
$(n+1)/(n+3)-n/(n+2)>=0$
$((n+1)(n+2)-n(n+3))/((n+3)(n+2))>=0$
$(n^2+2n+n+2-n^2-3n)/((n+3)(n+2))>=0$
$2/((n+3)(n+2))>=0$. Quindi?
$(n+1)/(n+3)>=n/(n+2)$ $AA n in NN$
$(n+1)/(n+3)-n/(n+2)>=0$
$((n+1)(n+2)-n(n+3))/((n+3)(n+2))>=0$
$(n^2+2n+n+2-n^2-3n)/((n+3)(n+2))>=0$
$2/((n+3)(n+2))>=0$. Quindi?
Giuro l'avevo svolta bene...
Il primo tentativo è stato quello di trovare il $m.c.m$ e svolgere la disequazione come "due disequazioni a parte" e avevo fatto: $(n^2+3n+2)/([(n+1)+2](n+2))>=(n^2+3n)/([(n+1)+2](n+2))$ facendo la regola dei segni per le 2 mi usciva:
$(x<-3uuu x>=-1)>=(x<-2uuu x>=0)$ arrivato qua non sapevo che conclusione dare o come procedere ed ho buttato il foglio...
Poi ho pensato di risolverla come una semplice disequazione fratta ovvero: $(n+1)/((n+1)+2)>=n/(n+1) rarr (n+1)/((n+1)+2)-n/(n+1)>=0 rarr (n^2+2n+n+2-n^2-3n)/([(n+1)+2](n+2)) rarr 2/([(n+1)+2](n+2))$ studio numeratore e denominatore:
per il numeratore ho: $2>=0 rarr AA n in NN$
per il denominatore ho: $(n+3)>0; (n+2)>0 rarr n> -3; n> -2$ quindi la soluzione finale era $n<-3 uuu n> -2$
e poi ho ho fatto quel tentativo....
Il primo tentativo è stato quello di trovare il $m.c.m$ e svolgere la disequazione come "due disequazioni a parte" e avevo fatto: $(n^2+3n+2)/([(n+1)+2](n+2))>=(n^2+3n)/([(n+1)+2](n+2))$ facendo la regola dei segni per le 2 mi usciva:
$(x<-3uuu x>=-1)>=(x<-2uuu x>=0)$ arrivato qua non sapevo che conclusione dare o come procedere ed ho buttato il foglio...
Poi ho pensato di risolverla come una semplice disequazione fratta ovvero: $(n+1)/((n+1)+2)>=n/(n+1) rarr (n+1)/((n+1)+2)-n/(n+1)>=0 rarr (n^2+2n+n+2-n^2-3n)/([(n+1)+2](n+2)) rarr 2/([(n+1)+2](n+2))$ studio numeratore e denominatore:
per il numeratore ho: $2>=0 rarr AA n in NN$
per il denominatore ho: $(n+3)>0; (n+2)>0 rarr n> -3; n> -2$ quindi la soluzione finale era $n<-3 uuu n> -2$
e poi ho ho fatto quel tentativo....
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