Successione di funzioni
Ciao a tutti, scusate il disturbo, qualcuno sa spiegarmi questo esercizio ?
Trovare l'insieme di convergenza della successione di funzioni ($f_n$) con $f_n(x)=nxe^(-n x^2)$.La convergenza è uniforme??
grazie a tutti.
Trovare l'insieme di convergenza della successione di funzioni ($f_n$) con $f_n(x)=nxe^(-n x^2)$.La convergenza è uniforme??
grazie a tutti.
Risposte
Volevo farti la stessa domanda che ha fatto gugo 
.
Sommarizzo i risultati ottenuti :
La funzione limite è $ f(x)=0 $ in $-oo
$f_n(x_n)= sqrt(n)/sqrt(2e) $ .
Quindi $ s u p_(-oo
L'ascissa ove le funzioni $f_n(x) $ hanno il max tende a $0 $ quando $ n rarr +oo $ , quindi proprio $ x=0 $ è il punto che "impedisce" la convergenza uniforme e allora togliamolo di mezzo opportunamente....La convergenza uniforme ci sarà ma non in tutto $RR $ bensì in ......
.Sommarizzo i risultati ottenuti :
La funzione limite è $ f(x)=0 $ in $-oo
$f_n(x_n)= sqrt(n)/sqrt(2e) $ .
Quindi $ s u p_(-oo
L'ascissa ove le funzioni $f_n(x) $ hanno il max tende a $0 $ quando $ n rarr +oo $ , quindi proprio $ x=0 $ è il punto che "impedisce" la convergenza uniforme e allora togliamolo di mezzo opportunamente....La convergenza uniforme ci sarà ma non in tutto $RR $ bensì in ......
" L'ascissa ove le funzioni fn(x) hanno il max tende a 0 quando n→+∞ , quindi proprio x=0 è il punto che "impedisce" la convergenza uniforme e allora togliamolo di mezzo opportunamente....La convergenza uniforme ci sarà ma non in tutto ℝ bensì in ...... "
Gentilmente puoi spiegarmelo perchè non l'ho capito e non sono ancora riuscito a trovare da nessuna parte niente che mi possa spiegare il tuo ragionamento. Il fatto che il max tende a 0 per n→+∞ cosa mi dovrebbe indicare ??? Cioè vorrei capire bene il metodo da adottare per verificare se, una volta trovato che la successione non converge uniformemente nell'insieme di convergenza, all'interno di esso è possibile trovare un insieme in cui possa convergere uniformemente. grazie ciao.
Gentilmente puoi spiegarmelo perchè non l'ho capito e non sono ancora riuscito a trovare da nessuna parte niente che mi possa spiegare il tuo ragionamento. Il fatto che il max tende a 0 per n→+∞ cosa mi dovrebbe indicare ??? Cioè vorrei capire bene il metodo da adottare per verificare se, una volta trovato che la successione non converge uniformemente nell'insieme di convergenza, all'interno di esso è possibile trovare un insieme in cui possa convergere uniformemente. grazie ciao.
"angel_j88":
Il limite dovrebbe essere 0 per qualsiasi valore di x, no??
E' più corretto dire "per qualunque valore di [tex]$x$[/tex] reale"
Per il resto, si tratta di un esercizio base,un classico; secondo me lo trovi già svolto sul tuo libro
EDIT: scusate mi ero saltato un bel po di pagine (2 per l'esattezza!!!), non avevo visto che c'era una seconda e terza pagina, per cui il mio messaggio è riferito a qualche ventina di post fà!!
Provo a rispiegare e completare l’esercizio.
Le funzioni $f_n(x)$ hanno il punto di massimo per $x=1/sqrt(2n)$ ( che tende a $0 $ per $n rarr +oo)$ e il massimo vale $ sqrt(n)/sqrt(2e) $ ( che tende a $+oo $ per $ n rarr +oo$).
Quindi $x=0 $ non può far parte dell’insieme in cui la successione converge uniformemente alla funzione limite $f=0 $ .
Considero allora $epsilon > 1/sqrt(2n) $ ( cioè $ n> 1/(2epsilon^2)$) , considero cioè una ascissa maggiore del valore per cui si ha il massimo.
Per $ x>=epsilon $ la funzione $f_n(x)$ è decrescente e il $s u p $ di $f_n(x) $ per $x>= epsilon $ sarà il valore che $f_n $ assume in $x=epsilon $, sarà cioè $ s u p_(x>=epsilon) f_n(x)=f_n(epsilon) =n epsilon e^(-n epsilon^2)$.
Ma allora $lim_(n rarr+oo) s u p f_n =0 $.
Questo significa che negli intervalli del tipo $x>= epsilon $ la convergenza è uniforme.
Analogamente per la disparità delle funzioni $f_n(x)$ la convergenza sarà uniforme anche negli intervalli del tipo $ x<= - epsilon$.
Le funzioni $f_n(x)$ hanno il punto di massimo per $x=1/sqrt(2n)$ ( che tende a $0 $ per $n rarr +oo)$ e il massimo vale $ sqrt(n)/sqrt(2e) $ ( che tende a $+oo $ per $ n rarr +oo$).
Quindi $x=0 $ non può far parte dell’insieme in cui la successione converge uniformemente alla funzione limite $f=0 $ .
Considero allora $epsilon > 1/sqrt(2n) $ ( cioè $ n> 1/(2epsilon^2)$) , considero cioè una ascissa maggiore del valore per cui si ha il massimo.
Per $ x>=epsilon $ la funzione $f_n(x)$ è decrescente e il $s u p $ di $f_n(x) $ per $x>= epsilon $ sarà il valore che $f_n $ assume in $x=epsilon $, sarà cioè $ s u p_(x>=epsilon) f_n(x)=f_n(epsilon) =n epsilon e^(-n epsilon^2)$.
Ma allora $lim_(n rarr+oo) s u p f_n =0 $.
Questo significa che negli intervalli del tipo $x>= epsilon $ la convergenza è uniforme.
Analogamente per la disparità delle funzioni $f_n(x)$ la convergenza sarà uniforme anche negli intervalli del tipo $ x<= - epsilon$.
credo di aver capito, grazie 1000 anche per la pasienza, ciao. 
Ecco il grafico delle funzioni $f_n (x ) $ per
*n=1 in nero
*n=10 in rosso
*n=100 in verde
in cui si nota che
l'ascissa del punto di max si avvicina sempre di più a zero
il valore del max cresce al crescere di n .
Uploaded with ImageShack.us
*n=1 in nero
*n=10 in rosso
*n=100 in verde
in cui si nota che
l'ascissa del punto di max si avvicina sempre di più a zero
il valore del max cresce al crescere di n .
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Scusa la domanda stupida, ma vorrei capire una cosa. Allora in questo esercizio il limite dell'estremo superiore va a infinito e quindi la successione non converge uniformemente per definizione. Però si è trovato che quando il sup va a infinito la x va a 0, quindi abbiamo trovato che per un intervallo ($-oo$,-a]U[a,$oo$) con a>$1/sqrt(2n)$ la successione converge uniformemente. Questo ragionamento vale solo nel caso in cui l'ascissa in cui la funzione va al massimo tende ad un valore finito??Nel senso se il limite del sup fosse stato $oo$ e l'ascissa del tipo x=n quindi andava anch'essa a $oo$, si poteva trovare lo stesso un intervallo dove la successione convergeva uniformemente?? grazie ancora
piccolo UP. 
Non puoi dare una condizione su $a$ che dipende da $n$, che è l'indice di successione. Come diceva gugo82 in qualche post fa la successione di funzioni data converge uniformemente in ogni insieme del tipo $(-\infty,-a]u[b,+\infty)$, con $a,b>0$.
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