Successione di funzioni

[angel_j88]

Ciao a tutti, scusate il disturbo, qualcuno sa spiegarmi questo esercizio ?

Trovare l'insieme di convergenza della successione di funzioni ($f_n$) con $f_n(x)=nxe^(-n x^2)$.La convergenza è uniforme??

grazie a tutti.

[gugo82]

Leggi questo avviso e regolati di conseguenza.

[angel_j88]

Scusami, comunque credo che l'unico errore sia stato quello di non aver postato una mia soluzione, ma se non l'ho scritta è solo perchè non so come svolgere l'esercizio. Non volevo abusare della disponibilità di nessuno, non sono il tipo, da quando sono registrato ho postato meno di 10 messaggi. Comunque mi regolerò meglio in futuro.

[gugo82]

Va bene, ma potevi dirlo chiaramente.

Cosa c'è di non chiaro?
Hai un eserciziario dove sono svolti esercizi simili?

Se sì, hai provato ad applicare lo stesso metodo a questo esercizio? Dove ti blocchi?

Se no, vediamo come fare.

[angel_j88]

Allora, per prima cosa facendo il limite per n tendente ad infinito di an+1/an risulterebbe 1/e^(x^2), quindi verrebbe x>1 e x<-1 questo è un intervallo?? Oppure commetto qualche errore??

[gugo82]

Ma come [tex]$\frac{a_{n+1}}{a_n}$[/tex]???

Ma è una successione o una serie?!?!?

[angel_j88]

successione, non so allora come calcolare l'insieme di convergenza.

[gugo82]

Eserciziario nulla?

Ad ogni modo, prova a calcolare, per fissato [tex]$x$[/tex], il limite [tex]$\lim_{n\to +\infty} f_n(x)=\lim_{n\to +\infty} nx\ e^{-nx^2}$[/tex].

[angel_j88]

Il limite dovrebbe essere 0 per qualsiasi valore di x, no??

[angel_j88]

E quindi l'insieme di convergenza sarebbe da -infinito a +infinito???

[gugo82]

Esatto.

Ora, l'insieme di convergenza [tex]$X$[/tex] è costituito da tutti quegli [tex]$x$[/tex] per cui [tex]$\lim_{n\to +\infty} f_n(x)$[/tex] esiste finito.
Per cui qual è l'insieme di convergenza?

Poi, devi studiare la convergenza uniforme.
Per definizione [tex]$f_n\to f\ \text{uniformemente in $X$}$[/tex] se [tex]$\lim_n \sup_X |f_n-f|=0$[/tex], ergo devi calcolare il [tex]$\sup_X |f_n-f|$[/tex]... Idee su come fare?


*** EDIT: Ok, l'insieme di convergenza è quello che hai detto nel post precedente, ossia [tex]$X=\mathbb{R}$[/tex]; ora rimane aperta la questione della convergenza uniforme.

[angel_j88]

dovrei fare il limite di nxe^(-n(x^2))-0, (0 perchè è il risultato del limite no??) che è uguale a 0, quindi converge uniformemente no??

[gugo82]

Devi calcolare un estremo superiore... Ti ho anche richiamato la definizione!

Fa' più attenzione, per carità.
E vai ad aprire quel libro.

[angel_j88]

io dovrei calcolare il sup di | nxe^(-n(x^2)) - 0 (risultato limite successione per n tendente a 0) | l'estremo superiore credo sia ne^-n quindi il limite tendente a +infinito fa 0 quindi convergerebbe uniformemente no??

[Camillo]

Devi calcolare $lim_(n rarr +oo) s u p |nx*e^(-nx^2)-0| =lim_(n rarr +oo) s u p |(nx)/e^(nx^2)|$ e verificare se e dove questo limite vale $0 $ .

Se così fosse allora la convergenza della successione data alla funzione limite (puntuale ) sarebbe uniforme.

Calcola allora il $ s u p $ della funzione racchiusa nel modulo : come ? prova a derivare la funzione e a vedere per quale valore della variabile $x $ si ha il massimo della funzione e quanto vale questo massimo valore assunto dalla funzione.

A questo punto ci sei quasi : valuta quale è il limite per $ n rarr +oo $ di questo massimo valore , se è $0 $ allora -vedi sopra.
Ove questo limite , cioè in quale intervallo , fosse $0 $ significa che la " distanza " tra $f_n(x) $ e la funzione limite diventa piccola tanto quanto si vuole pur di aumentare adeguatamente il valore di $n $.
Son sicuro che gli amici matematici inorridiranno alla mia spiegazione.
Ad angel_j88 consiglio vivamente di prendere un testo che tratti di questo argomento e di leggerlo accuratamente.
Se poi qualcosa non sarà chiaro troverai senz'altro chi ti aiuterà.

[gugo82]

"Camillo":Son sicuro che gli amici matematici inorridiranno alla mia spiegazione.

E perchè mai dovremmo?

Sei stato chiarissimo come al solito Camillo.

[angel_j88]

calcolando il massimo della funzione ottengo x=sqrt(1/(2n)), sostituito questo nella successione ottengo : n/sqrt(2n)*e^-(n/2n) quindi n/sqrt(2n)*e^-(1/2), il limite per n tendente ad infinito fa infinito quindi non converge uniformemente, esatto??

[Camillo]

Esatto ! per scrivere le formule usa MathML altrimento son difficili da comprendere,

[angel_j88]

Grazie a tutti per la collaborazione, spero di disturbare il meno possibile in futuro, ciao.

[gugo82]

"angel_j88":calcolando il massimo della funzione ottengo x=sqrt(1/(2n)), sostituito questo nella successione ottengo : n/sqrt(2n)*e^-(n/2n) quindi n/sqrt(2n)*e^-(1/2), il limite per n tendente ad infinito fa infinito quindi non converge uniformemente, esatto??

Ok, così hai stabilito che non converge uniformemente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Tuttavia la successione potrebbe convergere uniformemente su qualche insieme un po' più piccolo.

Intuitivamente, le ascisse dei punti di massimo si accumulano intorno a [tex]$0$[/tex], quindi è lì il problema; probabilmente escludendo un piccolo intorno completo di [tex]$0$[/tex] riesci a recuperare convergenza uniforme.
Prova a vedere cosa succede se al posto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] consideri un insieme del tipo [tex]$Y:=\mathbb{R}\setminus ]a,b[ = ]-\infty, a]\cup [b,+\infty[$[/tex] con [tex]$a<0

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[angel_j88]

No, non so come fare a calcolare a e b. Scusa , prima avevamo visto che per x=1/sqrt(2n) non convergeva uniformemente, come faccio a calcolare a e b?? Per qualsiasi x non dipendente da n il limite fa 0.