Successione di Funzioni 3

[rccc_8]

$ f_n(x)=1/(1+(n-x)^2) $

il limite tende a zero come pure il limite del Sup

quindi c'è convergenza puntuale e uniforme su $ RR $

corretto?

[rubik2]

non ne sono molto sicuro

sup$1/(1+(n-x)^2)=1$ che si ottiene quando x=n

[rccc_8]

su intervalli $ (-oo,0] $ oppure $ [0,oo) $ com'è il sup?

[size=75]non ho proprio capito come si calcola [/size]

[rubik2]

la successione di funzioni converge puntualmente alla funzione costante $ f=0 $

all'inizio tu parlavi anche di convergenza uniforme su tutto $RR$.

per verificare la convergenza uniforme in questo caso basta vedere se esiste un indice N per cui il supf(x) è minore di epsilon per ogni x in $RR$.

per trovare il sup di f(x) basta fare uno studio di funzione, si vede facilmente che su $RR$ il sup è 1 (a te l'onere di verificare facendo la derivata). questo vuol dire che non c'è convergenza uniforme su tutto $RR$ in quanto il sup non è infinitesimo per tutti i valori di n.

precisamente il sup (che è un massimo) viene assunto da $f_n$ in x=n quindi si nota che "togliendo" x=n dal dominio si può ottenere convergenza uniforme. in sostanza basta prendere un intervallo del tipo $(-oo,a]$ con $ainRR$ per ottenere convergenza uniforme. spero di essere stato chiaro, fammi sapere ciao

[rccc_8]

si, ma in che modo definisco l'estremo "a"

cosa mi dice che l'intervallo sia per esempio $ (-oo,5] $ oppure $ (-oo,-3] $ ?

[rubik2]

vanno bene tutti gli intervalli di quel tipo, quello che serve è che da un certo indice in poi n non appartenga più al nostro intervallo in questo modo le funzioni non raggiungono il valore 1 e assumono il valore massimo esattamente in a, valore massimo che tende a zero al crescere di n per cui riusciamo a trovare un indice dal quale in poi sup$f_n

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[rccc_8]

in questo caso quanto vale $ a $?

[Gaal Dornick]

arbitrariamente

se fissi un qualunque $a in RR$ definitivamente $n>a$ (cioè $exists N in NN s.t. forall n>N: n>a$
quindi definitivamente $||f_n||_((-oo,a])=f_n(a)$
per studiare $lim_(n->+oo) ||f_n||_((-oo,a])$ ti basta una condizione definitiva.. e quindi ti rimane da fare questo limite $lim_(n->+oo) ||f_n||_((-oo,a])=lim_(n->+oo) f_n(a)$

nota: se hai verificato che hai convergenza puntuale in $RR$ alla funzione nulla allora sicuramente quel limite è infinitesimo

qed

[rubik2]

"Gaal Dornick":arbitrariamente

se fissi un qualunque $a in RR$ definitivamente $n>a$ (cioè $exists N in NN s.t. forall n>N: n>a$
quindi definitivamente $||f_n||_((-oo,a])=f_n(a)$
per studiare $lim_(n->+oo) ||f_n||_((-oo,a])$ ti basta una condizione definitiva.. e quindi ti rimane da fare questo limite $lim_(n->+oo) ||f_n||_((-oo,a])=lim_(n->+oo) f_n(a)$

nota: se hai verificato che hai convergenza puntuale in $RR$ alla funzione nulla allora sicuramente quel limite è infinitesimo

qed

grazie Gaal non sono riuscito ad esprimermi meglio di quello che ho fatto

[Gaal Dornick]

nota.. in questo caso se studi la convergenza uniforme anche in $[a,+oo)$ concludi che il problema rimane.. quindi il problema è $+oo$
perciò con quanto fatto prima "tagli" il problema

a volte può capitare che è $-oo$ a dare problemi.. e devi studiare in $[a,+oo)$

a volte + sia $+oo$ che $-oo$ che danno problemi, e quindi fissi $M>0$ e studi in $[-M,M]$

e se vedi che è $0$ a dare problemi ? (o più ingenereale $b in RR$ che da problemi) fissi $delta>b$ e studi in $[delta,+oo)$ e fissi $eta
nota: sai che in quest'ultimo caso non può esserci convergenza uniforme in $(-oo,b)$ e $(b,+oo)$, vero?

[Gaal Dornick]

sai com'è.. giovedì devo dare giusto questo esame...