Successione di funzione
data la successione di funzion[size=200]I[/size] $nsin(nx)*e^(-nx)$ stabilire l'insieme di convergenza E,e studiare la convergenza puntuale e uniforme.
Allora,ho trovato l'insieme di convergenza $E={x>=0}$ e per tali x si ha che la successione di funzione converge puntualmente a 0.
Per la convergenza uniforme si nota che la funzione non è limitata in tutto R(il limite per x che tende a $-oo$ non esiste) [forse passaggio inutile] resta da far vedere se converge uniformemente in $[0;+oo)$Per il teorema di weierstrass la funzione essendo limitata e continua in $[0;+oo)$ ammette massimo assoluto e il massimo coincide col sup.Quindi per la condizione necessaria e sufficiente mi calcolo il punto di massimo facendo la derivata e ponendola=0 e mi trovo $x=pi/(4n) +kpi$ che andando a sostituire in $f_n$ mi da $n*(sin (pi/(4) +nkpi)) *e^(-n(pi/(4n) +kpi))$ che per $n->+oo$ e k<0 non è infinitesima quindi la successione non converge uniformemente in $[0;+oo)?$E in ogni caso c'è un intervallo in cui converge uniformemente? grazie
Allora,ho trovato l'insieme di convergenza $E={x>=0}$ e per tali x si ha che la successione di funzione converge puntualmente a 0.
Per la convergenza uniforme si nota che la funzione non è limitata in tutto R(il limite per x che tende a $-oo$ non esiste) [forse passaggio inutile] resta da far vedere se converge uniformemente in $[0;+oo)$Per il teorema di weierstrass la funzione essendo limitata e continua in $[0;+oo)$ ammette massimo assoluto e il massimo coincide col sup.Quindi per la condizione necessaria e sufficiente mi calcolo il punto di massimo facendo la derivata e ponendola=0 e mi trovo $x=pi/(4n) +kpi$ che andando a sostituire in $f_n$ mi da $n*(sin (pi/(4) +nkpi)) *e^(-n(pi/(4n) +kpi))$ che per $n->+oo$ e k<0 non è infinitesima quindi la successione non converge uniformemente in $[0;+oo)?$E in ogni caso c'è un intervallo in cui converge uniformemente? grazie
Risposte
hai ragione non mi ero accorto dell'errore...quindi si può concludere che non converge uniformemente in nessun intervallo?
Allora, io ti suggerirei di andarci con più rigore per evitare ambiguità e dubbi.
La successione di funzioni data converge puntualmente per ogni punto $x>=0$ . La successione converge verso $f(x)=0$. Convergerà uniformemente ? Se così fosse allora per ogni $epsilon>0$ esiste un $a(epsilon) in N$ per cui $|f_n(x)-l|a $
In questo caso:
$|f_n(x)-l|=|nsen(nx)e^(-nx)|<=|n e^(-nx)| ; $
per ogni intervallo $[b , +oo[$, ci accorgiamo che esiste sempre un unico valore di $a$ adatto per ogni punto. Infatti, fissato $epsilon$, si ha che:
$|n e^(-nx)|=n e^(-nx) <=n e^(-nb) ;$ è chiaro che se considero valori di $x$ sempre più grandi l'esponenziale assume valori più piccoli e inoltre decresce molto più velocemente di quanto aumenta $n$, cosicché per mantenere la disuguaglianza basta scegliere il più grande $a$, che è quello che si ha in corrispondenza dell'estremo inferiore dell'intervallo.
PS
Ok gugo82, non avevo notato. Per i codici hai ragione, ora provvedo.
La successione di funzioni data converge puntualmente per ogni punto $x>=0$ . La successione converge verso $f(x)=0$. Convergerà uniformemente ? Se così fosse allora per ogni $epsilon>0$ esiste un $a(epsilon) in N$ per cui $|f_n(x)-l|
In questo caso:
$|f_n(x)-l|=|nsen(nx)e^(-nx)|<=|n e^(-nx)| ; $
per ogni intervallo $[b , +oo[$, ci accorgiamo che esiste sempre un unico valore di $a$ adatto per ogni punto. Infatti, fissato $epsilon$, si ha che:
$|n e^(-nx)|=n e^(-nx) <=n e^(-nb) ;$ è chiaro che se considero valori di $x$ sempre più grandi l'esponenziale assume valori più piccoli e inoltre decresce molto più velocemente di quanto aumenta $n$, cosicché per mantenere la disuguaglianza basta scegliere il più grande $a$, che è quello che si ha in corrispondenza dell'estremo inferiore dell'intervallo.
PS
Ok gugo82, non avevo notato. Per i codici hai ragione, ora provvedo.
@mork_1:
Dopo 101 post ancora non conosci il MathML? Molto male (cfr. regolamento, 3.6b).
Clicca su formule per imparare; poi correggi il tuo messaggio.
P.S.: Occhio ai versi delle disuguaglianze.
"mork_1":
$(1)$ Qui ci vuole il pedice (la $n$) nella f ma non so metterlo.
Dopo 101 post ancora non conosci il MathML? Molto male (cfr. regolamento, 3.6b).
Clicca su formule per imparare; poi correggi il tuo messaggio.
P.S.: Occhio ai versi delle disuguaglianze.
grazie per la risposta
scusami ma non ho ancora capito :s
cosa intendi di preciso con " cosìcché per mantenere la disuguaglianza basta scegliere il più grande $a$, che è quello che si ha in corrispondenza dell'estremo inferiore dell'intervallo."?Ho fatto i grafici con derive e geogebra e facendo variare n fino a 1000 mi spunta un picco nel semiasse negativo delle y quindi chi è l'estremo inferiore?
Poi non dovrebbe essere $<=$ nella disuguaglianza?
"mork_1":
per ogni intervallo $[b , +oo[$,. Infatti, fissato $epsilon$, si ha che:
$|n e^(-nx)|=n e^(-nx) >=n e^(-nb) ;$ è chiaro che se considero valori di $x$ sempre più grandi l'esponenziale assume valori più piccoli e inoltre decresce molto più velocemente di quanto aumenta $n$, cosìcché per mantenere la disuguaglianza basta scegliere il più grande $a$, che è quello che si ha in corrispondenza dell'estremo inferiore dell'intervallo.
scusami ma non ho ancora capito :s
cosa intendi di preciso con " cosìcché per mantenere la disuguaglianza basta scegliere il più grande $a$, che è quello che si ha in corrispondenza dell'estremo inferiore dell'intervallo."?Ho fatto i grafici con derive e geogebra e facendo variare n fino a 1000 mi spunta un picco nel semiasse negativo delle y quindi chi è l'estremo inferiore?
Poi non dovrebbe essere $<=$ nella disuguaglianza?
A parte quella disuguaglianza, il resto è vero! E' inutile che continui a disegnare grafici, anche se può servire farne un paio per capire cosa fa la successione. Proprio perchè $|nsen(nx)e^(-nx)|<= |n*e^(-nx)|$, se converge uniformemente la seconda, allora converge uniformemente anche la prima. Quindi concentrati sul secondo membro senza farti distrarre dagli estremanti come ho fatto io!
Ciao,
sì, la disuguaglianza va invertita, ho fatto un errore di battitura. Poi se vedi nel resto della risposta si capisce che è al contrario.
Ora andando all'obiezione che fai... dobbiamo ricordarci che una successione di funzioni ha convergenza uniforme in un insieme $A sube RR$ se
$ AA epsilon >0$ $ EE a in NN : AA n>a $ $|f_n(x)-l|
Ora, apparentemente sembra che non si sia detto niente di nuovo e la convergenza uniforme non sembra tanto diversa da quella puntuale. La differenza è la seguente.
Nel caso di convergenza uniforme, il numero $a in NN$ non dipende da alcun punto $x in A$. In altre parole esiste un valore di $a$ che va bene qualsiasi sia il punto $x in A sube RR$.
Nel nostro esercizio, questo accade certamente per ogni $[b , +oo[$ .
PS
Ora anche l'altro post dovrebbe essere corretto.
sì, la disuguaglianza va invertita, ho fatto un errore di battitura. Poi se vedi nel resto della risposta si capisce che è al contrario.
Ora andando all'obiezione che fai... dobbiamo ricordarci che una successione di funzioni ha convergenza uniforme in un insieme $A sube RR$ se
$ AA epsilon >0$ $ EE a in NN : AA n>a $ $|f_n(x)-l|
Ora, apparentemente sembra che non si sia detto niente di nuovo e la convergenza uniforme non sembra tanto diversa da quella puntuale. La differenza è la seguente.
Nel caso di convergenza uniforme, il numero $a in NN$ non dipende da alcun punto $x in A$. In altre parole esiste un valore di $a$ che va bene qualsiasi sia il punto $x in A sube RR$.
Nel nostro esercizio, questo accade certamente per ogni $[b , +oo[$ .
PS
Ora anche l'altro post dovrebbe essere corretto.
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