Successione di funzione
data la successione di funzion[size=200]I[/size] $nsin(nx)*e^(-nx)$ stabilire l'insieme di convergenza E,e studiare la convergenza puntuale e uniforme.
Allora,ho trovato l'insieme di convergenza $E={x>=0}$ e per tali x si ha che la successione di funzione converge puntualmente a 0.
Per la convergenza uniforme si nota che la funzione non è limitata in tutto R(il limite per x che tende a $-oo$ non esiste) [forse passaggio inutile] resta da far vedere se converge uniformemente in $[0;+oo)$Per il teorema di weierstrass la funzione essendo limitata e continua in $[0;+oo)$ ammette massimo assoluto e il massimo coincide col sup.Quindi per la condizione necessaria e sufficiente mi calcolo il punto di massimo facendo la derivata e ponendola=0 e mi trovo $x=pi/(4n) +kpi$ che andando a sostituire in $f_n$ mi da $n*(sin (pi/(4) +nkpi)) *e^(-n(pi/(4n) +kpi))$ che per $n->+oo$ e k<0 non è infinitesima quindi la successione non converge uniformemente in $[0;+oo)?$E in ogni caso c'è un intervallo in cui converge uniformemente? grazie
Allora,ho trovato l'insieme di convergenza $E={x>=0}$ e per tali x si ha che la successione di funzione converge puntualmente a 0.
Per la convergenza uniforme si nota che la funzione non è limitata in tutto R(il limite per x che tende a $-oo$ non esiste) [forse passaggio inutile] resta da far vedere se converge uniformemente in $[0;+oo)$Per il teorema di weierstrass la funzione essendo limitata e continua in $[0;+oo)$ ammette massimo assoluto e il massimo coincide col sup.Quindi per la condizione necessaria e sufficiente mi calcolo il punto di massimo facendo la derivata e ponendola=0 e mi trovo $x=pi/(4n) +kpi$ che andando a sostituire in $f_n$ mi da $n*(sin (pi/(4) +nkpi)) *e^(-n(pi/(4n) +kpi))$ che per $n->+oo$ e k<0 non è infinitesima quindi la successione non converge uniformemente in $[0;+oo)?$E in ogni caso c'è un intervallo in cui converge uniformemente? grazie
Risposte
[OT, grammaticale]
Successione di funzione... Cioè una successione che ha come termine una sola funzione; quindi è una successione costante e perciò convergente sempre e comunque.
Ma la differenza tra singolare e plurale la insegnano ancora alle elementari?
Oppure tale distinzione è stata abolita nel decennio successivo a quello in cui ho frequentato io?
[/OT]
Successione di funzione... Cioè una successione che ha come termine una sola funzione; quindi è una successione costante e perciò convergente sempre e comunque.
Ma la differenza tra singolare e plurale la insegnano ancora alle elementari?
Oppure tale distinzione è stata abolita nel decennio successivo a quello in cui ho frequentato io?
[/OT]
"gugo82":
[OT, grammaticale]
Successione di funzione... Cioè una successione che ha come termine una sola funzione; quindi è una successione costante e perciò convergente sempre e comunque.
Ma la differenza tra singolare e plurale la insegnano ancora alle elementari?
Oppure tale distinzione è stata abolita nel decennio successivo a quello in cui ho frequentato io?
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quindi converge uniformemente in $[0;+oo)$? Per la differenza tra singolare e plurale scusa,se non l'ho colta a pieno quando ero all'elementari
Gugo ma non ti basta essere pignolo quanto serve in matematica? Gli sarà scappata una e al posto di una i, capisco che questo in analisi può voler dire molto, ma per l'italiano si può chiudere un occhio, no? 
Comunque è giusto che quella successione converga uniformemente su ogni intervallo $[a,+oo)$ con $a>0$?
Visto che tanto i punti estremanti tendono a 0 con $n$ e quindi il $Sup_(x in [a,+oo)) |nsin(nx)e^(-nx)| <= |nsin(na)e^(-na)|$ con $a> pi/(4n)$, e visto che questa roba $->0$ quando $n->+oo$.
Comunque è giusto che quella successione converga uniformemente su ogni intervallo $[a,+oo)$ con $a>0$?
Visto che tanto i punti estremanti tendono a 0 con $n$ e quindi il $Sup_(x in [a,+oo)) |nsin(nx)e^(-nx)| <= |nsin(na)e^(-na)|$ con $a> pi/(4n)$, e visto che questa roba $->0$ quando $n->+oo$.
[OT, quando certe cose non s'imparano da piccoli...]
Ossignoruzzomiobello... Si dice successione di funzioni; funzioni, plurale.
Dire successione di funzione non ha alcun senso, a parte il caso banale in cui [tex]$f_n(x)=\phi (x)$[/tex], ossia nel caso di una successione costante (la quale, per essere costante, è sempre convergente in tutti i modi).
[/OT]
Ossignoruzzomiobello... Si dice successione di funzioni; funzioni, plurale.
Dire successione di funzione non ha alcun senso, a parte il caso banale in cui [tex]$f_n(x)=\phi (x)$[/tex], ossia nel caso di una successione costante (la quale, per essere costante, è sempre convergente in tutti i modi).
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"gugo82":
[OT, quando certe cose non s'imparano da piccoli...]
Ossignoruzzomiobello... Si dice successione di funzioni; funzioni, plurale.
Dire successione di funzione non ha alcun senso, a parte il caso banale in cui [tex]$f_n(x)=\phi (x)$[/tex], ossia nel caso di una successione costante (la quale, per essere costante, è sempre convergente in tutti i modi).
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e ho capito e pure modificato il primo post ma tralasciando la differenza tra singolare e plurale tutto ciò non mi aiuta più di tanto.. vabbè
[OT]
@Giuly19 & and1991:
Mai sottovalutare l'importanza di scrivere correttamente in italiano.
Si fa la fine di quegli ingegneri che scrivono "laureato in Ingegnieria" sui CcVv, con chi li legge che puntualmente si domanda: Ma questi le hanno mai viste la scritta sulla facciata dell'università e le targhe all'ingresso dei dipartimenti?...
Per non parlare degli orrori di grammatica nei concorsi per l'avvocatura...
[/OT]
@Giuly19 & and1991:
"and1991":
e ho capito ma tralasciando la differenza tra singolare e plurale tutto ciò non mi aiuta più di tanto.. vabbè
Mai sottovalutare l'importanza di scrivere correttamente in italiano.
Si fa la fine di quegli ingegneri che scrivono "laureato in Ingegnieria" sui CcVv, con chi li legge che puntualmente si domanda: Ma questi le hanno mai viste la scritta sulla facciata dell'università e le targhe all'ingresso dei dipartimenti?...
Per non parlare degli orrori di grammatica nei concorsi per l'avvocatura...
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"gugo82":
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@Giuly19 & and1991:
[quote="and1991"]e ho capito ma tralasciando la differenza tra singolare e plurale tutto ciò non mi aiuta più di tanto.. vabbè
Mai sottovalutare l'importanza di scrivere correttamente in italiano.
Si fa la fine di quegli ingegneri che scrivono "laureato in Ingegnieria" sui CcVv, con chi li legge che puntualmente si domanda: Ma questi le hanno mai viste la scritta sulla facciata dell'università e le targhe all'ingresso dei dipartimenti?...
Per non parlare degli orrori di grammatica nei concorsi per l'avvocatura...
[/OT][/quote]
Mi scuso e chiedo umilmente perdono per aver messo una e al posto di una i e ti ringrazio per avermi fatto apprezzare la differenza con così tanta premura.Va bene mo?
Hai senz'altro ragione, in ogni caso è giusto quello che ho scritto?
giuly perchè non consideri la periodicità k?
Perchè tanto gli estremi si abbassano, il più alto è il primo.. (sarebbe meglio dire il più grande in valore assoluto, che in questo caso è anche il più alto)
"Giuly19":
Perchè tanto gli estremi si abbassano, il più alto è il primo.. (sarebbe meglio dire il più grande in valore assoluto, che in questo caso è anche il più alto)
non mi trovo. Prova a tracciare i grafici con derive o geogebra.quando x si avvicina a 0 e per n che va a +infinito gli estremi si alzano ancora di più.ad esempio il sup della $f$ per n=5 è minore del sup di n=6 e così via
Non hai capito, gli estremi si abbassano per $x->+oo$, il più alto estremo di ogni $f_n$ è il primo. Questo intendevo..
"Giuly19":
Non hai capito, gli estremi si abbassano per $x->+oo$, il più alto estremo di ogni $f_n$ è il primo. Questo intendevo..
capito,mi trovo
"Giuly19":
Visto che tanto i punti estremanti tendono a 0 con $n$ e quindi il $Sup_(x in [a,+oo)) |nsin(nx)e^(-nx)| <= |nsin(na)e^(-na)|$ con $a> pi/(4n)$, e visto che questa roba $->0$ quando $n->+oo$.
Per n che va a + infinito anche con $a>pi/(4n)$ non mi trovo che tende a 0. prendi ad esempio $pi/(2n)$
Sì ma a cosa tende il punto $pi/(2n)$ ?
"Giuly19":
Sì ma a cosa tende il punto $pi/(2n)$ ?
a +infinito
O.o ? Sei sicuro? Sto parlando del punto $x(n)=pi/(2n)$.
chiaramente il punto $pi/(2n)$ tende a 0 ma per la condiz. necessaria e sufficiente il sup serve non il punto ti trovi?
Sì lo so benissimo che serve il Sup, proprio per quello ti sto dicendo che il Sup tende ad essere in $x=0$. Il problema è che non so se è giusto quello che ho scritto, perchè è vero che se consideri le $f_n$ a partire da un $x$ appena maggiore di $pi/(2n)$ quello è il Sup, ma c'è anche da considerare che ci sono altri estremanti. In ogni caso sono abbastanza sicuro che la convergenza sia uniforme in $[a,+oo)$ con $a>0$. Se qualcuno potesse confermare.. 
"and1991":
data la successione di funzion[size=200]I[/size] $nsin(nx)*e^(-nx)$ stabilire l'insieme di convergenza E,e studiare la convergenza puntuale e uniforme.
.....Per il teorema di weierstrass la funzione essendo limitata e continua in $[0;+oo)$ ammette massimo assoluto e il massimo coincide col sup.Quindi per la condizione necessaria e sufficiente mi calcolo il punto di massimo facendo la derivata e ponendola=0 e mi trovo $x=pi/(4n) +kpi$ che andando a sostituire in $f_n$ mi da $n*(sin (pi/(4) +nkpi)) *e^(-n(pi/(4n) +kpi))$ che per $n->+oo$ e k<0 non è infinitesima quindi la successione non converge uniformemente in $[0;+oo)?$E in ogni caso c'è un intervallo in cui converge uniformemente? grazie
Il teorema di Weierstrass però fa una ipotesi fondamentale: l'intervallo deve essere chiuso.
Considera la funzione
$ f(x)=1-1/(x+1) $ $ per x in [0, +oo[ $
Chiaramente la funzione ha minimo in $x=0$ . Ma la funzione data, pur essendo continua in tutto il suo dominio, non ha punto di massimo . Non esiste nessun valore di $x$ reale per cui la $f $ assume valore massimo. Il teorema di Weierstrass ha come ipotesi fondamentale (e tutte le ipotesi hanno un motivo di esistere) che l'intervallo di definizione deve essere chiuso.
PS
Rileggendo quanto affermi, devo farti notare che il Teorema di Weierstrass non suppone nemmeno che la funzione sia ivi limitata. La $f$ dev'essere definita e continua in un intervallo chiuso (del resto se ti dice che ha massimo e minimo è palese che sia limitata.)
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