Successione di funzione

[ValeForce]

Salve a tutti!!

Premetto che tutto quello che sto per scrivere potrebbero essere cose totalmente senza senso... in caso non picchiatemi virtualmente per favore

Ho la seguente successione di funzioni:
\[
f_n(x)
\begin{cases}
3n^2x & 0\le x\le \frac{1}{3n} \\
n & \frac{1}{3n}\le x\le \frac{1}{2n} \\
-2n^2x+2n & \frac{1}{2n}\le x\le\frac{1}{n} \\
0 & \frac{1}{n}\le x \le 1
\end{cases}
\] definita nell'intervallo $[0,1].$
Le richieste sono:
a)La successione ${f_n}$ converge puntualmente in $[0,1]$?
b)Per la successione ${f_n}$ è lecito, nell'intervallo $[0,1]$, il passaggio al limite sotto
il segno di integrale?
c)La successione ${f_n}$ converge uniformemente in $[0,1]$?
-------------------------
a)la funzione converge puntualmente a $f(x)=0$ perché tutti gli intervallini si "schiacciano" a zero, quindi per $n->+oo$ la $ x$ la prendo nell'ultimo tratto della funzione (in cui vale zero).
b)Beh so che \[\int_0^{1}f(x)\mathrm{d}x =0\]
invece riguardo le $f_n$... si procede così?
$int_(0)^(1) f_n(x) dx = int_(0)^(1/(3n)) 3n^2x dx+ int_(1/(3n))^(1/(2n)) n dx+ int_(1/(2n))^(1/n) (-2n^2x+2n) dx + int_(1/n)^(1) 0 dx =...=7/12->7/12 \ne0 $
Quindi NON è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale?

c)$M_n=s u p{abs(f_n(x)-f(x)):x in [0,1]}=n->+oo$ quindi non converge uniformemente giusto?

[dissonance]

Eh si, tutto giusto.

[ValeForce]

Grazie per la risposta, non mi aspettavo di aver fatto tutto giusto.
Volevo chiedere un'altra cosa: quando ho visto che non era lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale potevo concludere subito che non convergeva uniformemente? Più in generale, come sono legati il passaggio al limite sotto il segno di integrale e l'uniforme convergenza?

[dissonance]

Si, potevi concludere che la convergenza non è uniforme. Ma è meglio come hai fatto. Le cose più elementari sono sempre le migliori.

[ValeForce]

Grazie mille!