Successione di Cauchy.
Buongiorno,
Nutro delle incertezze su quello che precede il teorema di Cauchy e lo stesso.
In precedenza al teorema si prova che la successione di Cauchy è limitata.
Questa è la definizione di successione di Cauchy, che è riportata sul mio libro:
Una successione $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $ epsilon>0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli n e m maggiori di $alpha$ si ha $ |a_n - a_m|< epsilon$ .
Ora si prova che la successione di Cauchy è limitata, ne segue dalla definizione di successione di Cauchy:
prendiamo un $epsilon=1$ per cui esiste un $alpha$ tale che $ |a_n - a_m|< 1$ per ogni $ n,m>alpha $. In particolare si può prendere il valore $m=alpha+1$ si ha per $n>alpha$:
\(\displaystyle |a_n|\le |a_{\alpha +1}|+|a_n-a_{\alpha +1}|<|a_{\alpha +1}|+1 \).
D'altra parte per \(\displaystyle n\le \alpha \) risulta
1 \(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M\).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
Invece per il teorema lo vorrei riportare in un secondo momento, perché mi piacerebbe capire prima la parte che lo procede e poi passare al passo successivo.
Cordiali saluti
Nutro delle incertezze su quello che precede il teorema di Cauchy e lo stesso.
In precedenza al teorema si prova che la successione di Cauchy è limitata.
Questa è la definizione di successione di Cauchy, che è riportata sul mio libro:
Una successione $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $ epsilon>0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli n e m maggiori di $alpha$ si ha $ |a_n - a_m|< epsilon$ .
Ora si prova che la successione di Cauchy è limitata, ne segue dalla definizione di successione di Cauchy:
prendiamo un $epsilon=1$ per cui esiste un $alpha$ tale che $ |a_n - a_m|< 1$ per ogni $ n,m>alpha $. In particolare si può prendere il valore $m=alpha+1$ si ha per $n>alpha$:
\(\displaystyle |a_n|\le |a_{\alpha +1}|+|a_n-a_{\alpha +1}|<|a_{\alpha +1}|+1 \).
D'altra parte per \(\displaystyle n\le \alpha \) risulta
1 \(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M\).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
Invece per il teorema lo vorrei riportare in un secondo momento, perché mi piacerebbe capire prima la parte che lo procede e poi passare al passo successivo.
Cordiali saluti
Risposte
Attendo $a_{k_n}$ assume valori reali se la successione di partenza lo fa. Ma credo sia solo una svista.
Per tornare al tuo dubbio:
1. Estrai una sottosuccessione convergente
2. Sai che da un certo indice in poi i termini sono vicini
3. Questa cosa vale anche per i termini della sottosuccessione se presi da quell’indice in poi
4. Concludi con la disuguaglianza triangolare
Per tornare al tuo dubbio:
1. Estrai una sottosuccessione convergente
2. Sai che da un certo indice in poi i termini sono vicini
3. Questa cosa vale anche per i termini della sottosuccessione se presi da quell’indice in poi
4. Concludi con la disuguaglianza triangolare
Bremen000 grazie,
forse ci sono..
Ora tornando al mio dubbio, detto in modo poco formale, posso dire :
Estraggo una sottosuccessione \(\displaystyle a_{k_n} \) convergente, dove abbiamo avuto la premura di assicurarci che la successione \(\displaystyle a_n \) sia limitata.
Considerando che la successioni \(\displaystyle a_n \) è di Cauchy, per la def. di successione di Cauchy, allora so che da un certo indice in poi ( che in questo caso è \(\displaystyle n \) ) i termini sono arbitrariamente vicini. Quindi anche i termini \(\displaystyle a_{k_n} \).
Fine
Giusto ?
forse ci sono..
"Bremen000":
Attendo $ a_{k_n} $ assume valori reali se la successione di partenza lo fa. Ma credo sia solo una svista.
Ora tornando al mio dubbio, detto in modo poco formale, posso dire :
Estraggo una sottosuccessione \(\displaystyle a_{k_n} \) convergente, dove abbiamo avuto la premura di assicurarci che la successione \(\displaystyle a_n \) sia limitata.
Considerando che la successioni \(\displaystyle a_n \) è di Cauchy, per la def. di successione di Cauchy, allora so che da un certo indice in poi ( che in questo caso è \(\displaystyle n \) ) i termini sono arbitrariamente vicini. Quindi anche i termini \(\displaystyle a_{k_n} \).
Fine
Giusto ?
Quello che hai scritto è corretto, almeno credo, non essendo formalizzato.
Buongiorno Bremen000 e buona domenica
Scusami ma per formalizzare non va bene la dimostrazione che è riportata sul mio libro, cioè quella che ho riportato qui :
Scusami ma per formalizzare non va bene la dimostrazione che è riportata sul mio libro, cioè quella che ho riportato qui :
"galles90":
\( \displaystyle a_n \) una successione di Cauchy. Poiché \( \displaystyle a_n \) è limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, possiamo estrarre una sottosuccessione \( \displaystyle a_{k_n} \) convergente a un numero reale \( \displaystyle L \).
Per ogni \( \displaystyle \epsilon>0 \) esisterà un \( \displaystyle \alpha_1 \) tale che per \( \displaystyle n>\alpha_1 \) si ha \( \displaystyle |a_{k_n}-L|<\epsilon \).
Facciamo vedere che anche \( \displaystyle a_n \) converge a \( \displaystyle L \). Per la def. di successione di Cauchy, esiste un \( \displaystyle \alpha_2 \) tale che per ogni \( \displaystyle n,m>\alpha_2 \) si ha \( \displaystyle |a_n - a_m|<\epsilon \).
$ *** $In particolare, considerando che \( \displaystyle k_n\ge n \), se \( \displaystyle n>\alpha_2 \) si ha \( \displaystyle |a_n-a_{k_n}|<\epsilon \). Preso un \( \displaystyle \alpha=max (\alpha_1,\alpha_2) \), si avrà per ogni \( \displaystyle n>\alpha \).
\( \displaystyle |a_n - L| \le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-L|< \epsilon + \epsilon =2\epsilon \).
Certo che va bene, la dimostrazione è corretta. Ma quello che hai detto tu è una specie di riassunto di parte della dimostrazione ed è corretto ma essendo scritto in linguaggio naturale non si può essere sicuri al cento per cento che sia perfetto.
L’importante, comunque, è che tu abbia capito la dimostrazione.
L’importante, comunque, è che tu abbia capito la dimostrazione.
ok gentilissimo
"Bremen000":
@anto:
[ot]chissà esattamente quanti risultati portano il nome di Cauchy!?
P.S. : non ho mai imparato a fare quel comodissimo “messaggio segnalato come fuori tema dall’autote”...come si fa?
EDIT: ho imparato.[/ot]
[ot]Tempo fa avevo letto in un libro che Cauchy è il matematico a cui sono associati più oggetti che portano il suo nome.
P.S. Mi sono espresso male ma spero abbiate capito.[/ot]
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