Successione di Cauchy.
Buongiorno,
Nutro delle incertezze su quello che precede il teorema di Cauchy e lo stesso.
In precedenza al teorema si prova che la successione di Cauchy è limitata.
Questa è la definizione di successione di Cauchy, che è riportata sul mio libro:
Una successione $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $ epsilon>0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli n e m maggiori di $alpha$ si ha $ |a_n - a_m|< epsilon$ .
Ora si prova che la successione di Cauchy è limitata, ne segue dalla definizione di successione di Cauchy:
prendiamo un $epsilon=1$ per cui esiste un $alpha$ tale che $ |a_n - a_m|< 1$ per ogni $ n,m>alpha $. In particolare si può prendere il valore $m=alpha+1$ si ha per $n>alpha$:
\(\displaystyle |a_n|\le |a_{\alpha +1}|+|a_n-a_{\alpha +1}|<|a_{\alpha +1}|+1 \).
D'altra parte per \(\displaystyle n\le \alpha \) risulta
1 \(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M\).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
Invece per il teorema lo vorrei riportare in un secondo momento, perché mi piacerebbe capire prima la parte che lo procede e poi passare al passo successivo.
Cordiali saluti
Nutro delle incertezze su quello che precede il teorema di Cauchy e lo stesso.
In precedenza al teorema si prova che la successione di Cauchy è limitata.
Questa è la definizione di successione di Cauchy, che è riportata sul mio libro:
Una successione $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $ epsilon>0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli n e m maggiori di $alpha$ si ha $ |a_n - a_m|< epsilon$ .
Ora si prova che la successione di Cauchy è limitata, ne segue dalla definizione di successione di Cauchy:
prendiamo un $epsilon=1$ per cui esiste un $alpha$ tale che $ |a_n - a_m|< 1$ per ogni $ n,m>alpha $. In particolare si può prendere il valore $m=alpha+1$ si ha per $n>alpha$:
\(\displaystyle |a_n|\le |a_{\alpha +1}|+|a_n-a_{\alpha +1}|<|a_{\alpha +1}|+1 \).
D'altra parte per \(\displaystyle n\le \alpha \) risulta
1 \(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\(\displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M\).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
Invece per il teorema lo vorrei riportare in un secondo momento, perché mi piacerebbe capire prima la parte che lo procede e poi passare al passo successivo.
Cordiali saluti
Risposte
Ci sono decine e decine di "teoremi di Cauchy". A quale ti riferisci?
In ogni caso, questa cosa non l'avevamo già fatta? O mi ricordo male?
In ogni caso, questa cosa non l'avevamo già fatta? O mi ricordo male?
Ciao dissonance,
teorema sulle successione di Cauchy.
No no è la prima volta che pubblico un post inerente a questo argomento.
teorema sulle successione di Cauchy.
No no è la prima volta che pubblico un post inerente a questo argomento.
Quindi che cosa devi dimostrare? Lo so che sono pesante, ma tu continui a essere pigro nello strutturare il discorso. Scrivi *per bene* le ipotesi e la tesi di ciò che devi dimostrare. Questa è la cosa più importante di tutte e tu la trascuri.
Dissonance,
non voglio contradirti, ma mi sembra di essere preciso. Ho scritto alla lettera ciò che c'è sul mio libro ne più e ne meno.
Quello che ho riportato nel mio post, è soltanto una parte, cioè quello che precede il teorema sulle successioni, dove c'è un punto che non mi è chiaro, il quale l'ho evidenziato, proprio per evitare confusione.
Ripeto il teorema non l'ho riportato ancora, ma questo l'ho fatto notare.
Se potresti dirmi i punti dove creo confusione, li aggiusto. Sono pronto a migliorare.
non voglio contradirti, ma mi sembra di essere preciso. Ho scritto alla lettera ciò che c'è sul mio libro ne più e ne meno.
Quello che ho riportato nel mio post, è soltanto una parte, cioè quello che precede il teorema sulle successioni, dove c'è un punto che non mi è chiaro, il quale l'ho evidenziato, proprio per evitare confusione.
Ripeto il teorema non l'ho riportato ancora, ma questo l'ho fatto notare.
Se potresti dirmi i punti dove creo confusione, li aggiusto. Sono pronto a migliorare.
Ciao galles90,
Penso che tu voglia dei chiarimenti sull’implicazione:
(Successione di Cauchy) $Rightarrow$ (Successione limitata)
Purtoppo non è chiara la domanda, potrebbe essere perché non ti è chiaro cosa significs che una successione è limitata:
In uno spazio metrico:
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset X$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esistono un $x \in X$ e un $M \in RR^{+}$ tali che $d(x,x_n)
In uno spazio vettoriale normato:
Sia $(X, || \cdot ||)$ uno spazio vettoriale normato e sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset X$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esiste un $M \in RR^{+}$ tale che $||x_n||
In $RR$:
Sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset RR$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esiste un $M \in RR^{+}$ tale che $|x_n|
Dopo sta pappardella (credo, ma non sono sicuro, che il tuo caso sia $RR$) forse ti è più chiaro perché la domanda non ha senso .
Penso che tu voglia dei chiarimenti sull’implicazione:
(Successione di Cauchy) $Rightarrow$ (Successione limitata)
Purtoppo non è chiara la domanda, potrebbe essere perché non ti è chiaro cosa significs che una successione è limitata:
In uno spazio metrico:
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset X$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esistono un $x \in X$ e un $M \in RR^{+}$ tali che $d(x,x_n)
In uno spazio vettoriale normato:
Sia $(X, || \cdot ||)$ uno spazio vettoriale normato e sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset X$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esiste un $M \in RR^{+}$ tale che $||x_n||
In $RR$:
Sia $\{x_n\}_{n \in NN} \subset RR$ una successione. Diciamo che la successione è limitata se esiste un $M \in RR^{+}$ tale che $|x_n|
Dopo sta pappardella (credo, ma non sono sicuro, che il tuo caso sia $RR$) forse ti è più chiaro perché la domanda non ha senso .
Ma poi Cauchy ha fatto 200 teoremi almeno 
Vabbè ma lui per ora chiedeva un chiarimento su una cosa che prescindeva dal misterioso teorema in questione.
@anto:
[ot]chissà esattamente quanti risultati portano il nome di Cauchy!?
P.S. : non ho mai imparato a fare quel comodissimo “messaggio segnalato come fuori tema dall’autote”...come si fa?
EDIT: ho imparato.[/ot]
@anto:
[ot]chissà esattamente quanti risultati portano il nome di Cauchy!?
P.S. : non ho mai imparato a fare quel comodissimo “messaggio segnalato come fuori tema dall’autote”...come si fa?
EDIT: ho imparato.[/ot]
Buonasera,
no no il teorema non è misterioso Bremenn ahahah
Il teorema è sulle successioni di Cauchy.
Comunque il punto che non mi è chiaro è questo, cioè la domanda:
Dice questo ?
no no il teorema non è misterioso Bremenn ahahah
Il teorema è sulle successioni di Cauchy.
Comunque il punto che non mi è chiaro è questo, cioè la domanda:
"galles90":
1 \( \displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\( \displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M \).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
Dice questo ?
"Bremen000":
P.S. : non ho mai imparato a fare quel comodissimo “messaggio segnalato come fuori tema dall’autote”...come si fa?
@bremen come per evidenziare il messaggio in grassetto, però al posto della ‘b’ metti ‘ot’ cioè off-topic se non sbaglio
[ot]lui e suo compare lagrange ormai sono più presenti dei miei familiari nella mia vita
[/ot]
[ot]lui e suo compare lagrange ormai sono più presenti dei miei familiari nella mia vita
[/ot]
Miei cari...non vorrei essere scortese
La mia domanda è chiara ?
La mia domanda è chiara ?
"galles90":
Buonasera,
no no il teorema non è misterioso Bremenn ahahah
Il teorema è sulle successioni di Cauchy.
Che è come dire nulla
"galles90":
Comunque il punto che non mi è chiaro è questo, cioè la domanda:
[quote="galles90"]1 \( \displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha| \)
quindi in ogni caso
\( \displaystyle |a_n|< |a_1|+|a_2|+...+ |a_\alpha|+ |a_{\alpha +1}|+1=M \).
La parte che non mi è chiare, è riferita al punto 1; cioè perché considera i termini che precedono $ alpha $ se nella definizione bisogna considerare i termini che siano maggiori di $ alpha $
[/quote]
Quale definizione? Quella di successione di Cauchy? Non c’entra nulla con quello che stai facendo qua; in soldoni dici: da un certo $n$ in poi (tu lo chiami $\alpha$) i termini saranno “vicini” e dunque riesci a fare vedere che il loro valore assoluto da quel $n$ in poi sarà più piccolo di una certa costante. Per i termini il cui indice viene prima di quel $n$ usi un altro ragionamento e in totale fai vedere che ogni termine della successione è in valore assoluto più piccolo della stessa costante. Spero sia chiaro ora!
"galles90":[/quote]
Dice questo ?
[quote="Bremen000"]P.S. : non ho mai imparato a fare quel comodissimo “messaggio segnalato come fuori tema dall’autote”...come si fa?
Non ho capito cosa volevi dirmi; in ogni caso dammi del tu. Stavo solo chiedendomi come si faceva a mettere in off topic parte di un messaggio.
Hey Bremen000,
la definizione di successione di Cauchy, che c'è sul mio libro è questa:
$**$ Una successione di $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $epsilon >0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli $n$ e $m$ maggiori di $alpha$, si ha: $|a_m-a_n|< epsilon$.
Quando dici:
Il mio dubbio è proprio su queste due righe, cioè mi spiego meglio; qual'è il senso di considerare gli $n$ più piccoli di $alpha$, se per la def. di successione di Cauchy basta considerare solo gli $m,n> alpha$ ??
Ciao
la definizione di successione di Cauchy, che c'è sul mio libro è questa:
$**$ Una successione di $a_n$ si dice di Cauchy se per ogni $epsilon >0 $ esiste un $alpha$ tale che per tutti gli $n$ e $m$ maggiori di $alpha$, si ha: $|a_m-a_n|< epsilon$.
Quando dici:
"Bremen000":
Per i termini il cui indice viene prima di quel $ n $ usi un altro ragionamento e in totale fai vedere che ogni termine della successione è in valore assoluto più piccolo della stessa costante. Spero sia chiaro ora!
Il mio dubbio è proprio su queste due righe, cioè mi spiego meglio; qual'è il senso di considerare gli $n$ più piccoli di $alpha$, se per la def. di successione di Cauchy basta considerare solo gli $m,n> alpha$ ??
Ciao
Ciao,
non so come essere più chiaro di così. La tua definizione di successione di Cauchy è corretta. Tu SAI che la successione è di Cauchy e devi dimostrare che è limitata. L’essere limitata coinvolge TUTTI gli $n$ non solo quelli prima di $\alpha$. Questo ti è chiaro?
non so come essere più chiaro di così. La tua definizione di successione di Cauchy è corretta. Tu SAI che la successione è di Cauchy e devi dimostrare che è limitata. L’essere limitata coinvolge TUTTI gli $n$ non solo quelli prima di $\alpha$. Questo ti è chiaro?
Oddio, forse ho capito: tu pensi che una successione di Cauchy sia fatta solo di termini da un certo punto in poi, solo quando vale la condizione di essere di Cauchy! Questa frase non ha senso! Se questo è il tuo dubbio, considera questa successione
$\{1/(n+1)\}_{n \in NN}$
Questa successione è convergente e quindi è di Cauchy. MA i suoi termini sono $1, 1/2, 1/3, ...$. Cioè a partire da $n=1$.
Poi se tu fissi $\epsilon$, per esempio $\epsilon=10^{-3}$, riesci a trovare un certo $\alpha \in NN$ tale che da quel $\alpha$ in poi qualsiasi due termini della successione sono più vicini di $\epsilon$.
Magari era questo che non ti era chiaro!
$\{1/(n+1)\}_{n \in NN}$
Questa successione è convergente e quindi è di Cauchy. MA i suoi termini sono $1, 1/2, 1/3, ...$. Cioè a partire da $n=1$.
Poi se tu fissi $\epsilon$, per esempio $\epsilon=10^{-3}$, riesci a trovare un certo $\alpha \in NN$ tale che da quel $\alpha$ in poi qualsiasi due termini della successione sono più vicini di $\epsilon$.
Magari era questo che non ti era chiaro!
Yes, mi sono andato a rivedere la def. di successione limitata, ho capito dove era il mio blocco 
Comunque grazie
.
Mi leggo il th, e vedo che ne esce.
Ciao
Comunque grazie
. Mi leggo il th, e vedo che ne esce.
Ciao
Prego! Era per quello che ti avevo messo la definizione di successione limitata, l’inghippo doveva essere lì!
E' rimasta l'ultima parte, quindi come volevasi dimostrare, ci sta l'obbligo.
Comunque riporto l'enunciato del teorema e la dimostrazione, inoltre segnalo il punto che non mi è chiaro.
Una successione $a_n$ è convergente se e solo se è di Cauchy
La dimostrazione si divide in due parti, cioè la prima parte consiste nel dimostrare:
Sia $a_n$ convergente, allora è di Cauchy ( non è riportata )
Invece la seconda consiste nel verificare:
\(\displaystyle a_n \) una successione di Cauchy. Poiché \(\displaystyle a_n \) è limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, possiamo estrarre una sottosuccessione \(\displaystyle a_{k_n} \) convergente a un numero reale \(\displaystyle L \).
Per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esisterà un \(\displaystyle \alpha_1 \) tale che per \(\displaystyle n>\alpha_1 \) si ha \(\displaystyle |a_{k_n}-L|<\epsilon \).
Facciamo vedere che anche \(\displaystyle a_n \) converge a \(\displaystyle L \). Per la def. di successione di Cauchy, esiste un \(\displaystyle \alpha_2 \) tale che per ogni \(\displaystyle n,m>\alpha_2 \) si ha \(\displaystyle |a_n - a_m|<\epsilon \).
$***$In particolare, considerando che \(\displaystyle k_n\ge n \), se \(\displaystyle n>\alpha_2 \) si ha \(\displaystyle |a_n-a_{k_n}|<\epsilon \). Preso un \(\displaystyle \alpha=max (\alpha_1,\alpha_2) \), si avrà per ogni \(\displaystyle n>\alpha \).
\(\displaystyle |a_n - L| \le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-L|< \epsilon + \epsilon =2\epsilon \)
La parte che non mi è molta chiara è $***$, cioè che significa \(\displaystyle k_n\ge n \)??
Devo vedere il termine \(\displaystyle a_{k_n} \) compreso tra \(\displaystyle a_n \) e \(\displaystyle a_m \), quindi dato che \(\displaystyle |a_n-a_m|<\epsilon \) a maggior ragione lo sarà \(\displaystyle |a_n-a_{k_n}|<\epsilon \).
Prova a fare da solo la prima implicazione magari!
Sai cosa è una sottosuccessione? $k_n$ è solo un indice...
Sai cosa è una sottosuccessione? $k_n$ è solo un indice...
La prima è bella facile.
Volendo schematizzare la cosa, che magari può esserti utile:
Successione di Cauchy => successione limitata => sottosuccessione convergente => se una successione di cauchy ammette una sottosuccessione convergente allora converge tutta la successione
Volendo schematizzare la cosa, che magari può esserti utile:
Successione di Cauchy => successione limitata => sottosuccessione convergente => se una successione di cauchy ammette una sottosuccessione convergente allora converge tutta la successione
Yes anto_zoolander
Dimostrazione
Ipotesi : Sia $a_n$ convergente
Tesi: $a_n$ è di Cauchy
Sia $a_n$ convergente ad un numero reale $L$, allora per $epsilon$ esiste un $alpha$ tale che per ogni $n>alpha$ si ha $|a_n-L|
\(\displaystyle |a_n-a_m|\le |a_n-L|+|a_m-L|< \epsilon+\epsilon=2\epsilon \).
Sia $a_n : mathbb{N} to mathbb{R} $.Una sottosuccessione o successione estratta da $a_n$ è una restrizione della $a_n$ ad un insieme infinito $K$. In definitiva si ha \(\displaystyle a_{k_n} : K \to \mathbb{N} \).
Ora il l'indice \(\displaystyle k_n \), lo devo vedere nel seguente modo \(\displaystyle n\le k_n \le m \)....spero di non aver detto una bufola..
Ciao
"Bremen000":
Prova a fare da solo la prima implicazione magari!
Dimostrazione
Ipotesi : Sia $a_n$ convergente
Tesi: $a_n$ è di Cauchy
Sia $a_n$ convergente ad un numero reale $L$, allora per $epsilon$ esiste un $alpha$ tale che per ogni $n>alpha$ si ha $|a_n-L|
\(\displaystyle |a_n-a_m|\le |a_n-L|+|a_m-L|< \epsilon+\epsilon=2\epsilon \).
"Bremen000":
Sai cosa è una sottosuccessione? $
Sia $a_n : mathbb{N} to mathbb{R} $.Una sottosuccessione o successione estratta da $a_n$ è una restrizione della $a_n$ ad un insieme infinito $K$. In definitiva si ha \(\displaystyle a_{k_n} : K \to \mathbb{N} \).
Ora il l'indice \(\displaystyle k_n \), lo devo vedere nel seguente modo \(\displaystyle n\le k_n \le m \)....spero di non aver detto una bufola..
Ciao
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