Successione convergente

[skass89]

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ragazzi sapreste dirmi cos'è quella V con epsilon?

[Darèios89]

Credo....ma non sono sicuro, che ti chieda di verificare per quali n>e è verificata la definizione di limite...

[Nicole931]

quella è la lettera greca "ni" (che i fisici, ahimè, pronunciano "nu") e dovrebbe essere l'equivalente di quella che molti testi chiamano $n_epsilon$ , cioè il numero , dipendente da $epsilon$, che verifica la condizione di convergenza:" per ogni naturale $n>n_epsilon$"
Nel tuo caso, applicando la definizione trovi :$n>1/epsilon$ e quindi il tuo $n_epsilon$ è uguale a $1/epsilon$

[skass89]

non mi è chiaro come sia uscito $1/epsilon$

[Nicole931]

quando vai a fare la verifica, cioè ad applicare la definizione :$|1-1/n-1|1/epsilon$ (ricorda che n è un numero naturale, quindi posso passare alla disuguaglianza tra gli inversi in quanto è sicuramente >0, così come per ipotesi lo è $epsilon$)

[skass89]

sarò fuso, ma comunque non riesco ad afferrare... $|1-1/n-1|$ ora da dove è uscito?
Poi la cosa che mi sta facendo impazzire è che sul mio libro non viene citata per niente questa $nu_epsilon$ ma neanche $n_epsilon$.

Ma mi viene proposto questo metodo, che chissà se l'ho capito:

$l - epsilon < a_n < l + epsilon$

nel caso del mio esercizio (definito banale, nella dispensa universitaria)

$l - epsilon <(n-1)/n < l + epsilon$

e quindi dimostrare, tracciando le strisce $[l - epsilon, l + epsilon]$ la serie ${a_n}$ converge.

.....ecco sono andato nel pallone....

[Nicole931]

per definizione hai che la successione converge ad 1 se , comunque si prenda un $epsilon$ reale positivo, esisterà sempre un numero $n_epsilon$ , cioè dipendente da $epsilon$ tale che, comunque tu prenda un naturale $n>n_epsilon$, si abbia :
$|a_n - l| nel tuo caso quindi deve essere:
$|(n-1)/n - 1|

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[skass89]

ok ora ho capito, ho provato a farlo e mi è uscito...anche se credo avevi sbagliato a scrivere prima dicendo $|1-(1/n)-1|
quindi poi sostituendo $epsilon$ con $1/2$ trovo che $n>2$ che conclusione traggo da questa disuguaglianza?

[Gmork]

Che per tutti i naturali maggiori o uguali a $2$ riesce:

$1-1/2<\frac{n-1}{n}<1+1/2$ e dalla definizione di limite di successione $\lim \frac{n-1}{n}=1$ ; se poi vai a sostituire al posto di $\epsilon$ tutti i valori positivi che vuoi (compresi quelli che ti da l'esercizio) ti accorgerai che in corrispondenza a ciascuno di loro esisterà sempre un naturale $n_\epsilon$ tale da verificare la convergenza a 1.

In generale si dice che $\forall \epsilon>0$ "definitivamente" $1-\epsilon<\frac{n-1}{n}<1+\epsilon$

[skass89]

nella penultima disuguaglianza c'è qualcosa che non va o è proprio così?

[skass89]

ok ora mi è quasi chiaro tutto...ma non dovrebbe essere $forall epsilon > 2$ ?

[skass89]

ragazzi scusate l'accavallamento delle domande ma sto un po alle strette...ho fatto questo esercizio e dove dovevo verificare che $(3n^2)/(2n^2-1)$ convergesse a $3/2$ e mi è uscito $n > +-sqrt (epsilon/2)

chiedo troppo se potete ribattermi i calcoli?

[Gmork]

"skass89":nella penultima disuguaglianza c'è qualcosa che non va o è proprio così?

Se ti riferisci a $|1-(1/n)-1|

"skass89":ok ora mi è quasi chiaro tutto...ma non dovrebbe essere $forall epsilon > 2$ ?

No. Dalla definizione di limite scegliendo un $\epsilon>0$ ARBITRARIO, trovi in corrispondenza a questo un certo naturale $n_\epsilon$ (a seconda di che epsilon hai scelto) tale che nella progressione dei naturali appena superi questo valore $n_\epsilon$ accade che $|1-(1/n)-1|
Per quanto riguarda l'ultimo limite dovrebbe essere per $n>\sqrt{(1/2)(\frac{3}{2\epsilon}+1)}=\sqrt{\frac{3+2\epsilon}{4\epsilon}}=\sqrt{\frac{3}{4\epsilon}+1/2}$ (*)

EDIT: (*) L'ho scritto in più maniere.

Consiglio: Prova prima a portare $|\frac{3n^2}{2n^2-1}-3/2|$ ad un unico denominatore. Ti semplificherà i passaggi.

[Nicole931]

"skass89":ragazzi scusate l'accavallamento delle domande ma sto un po alle strette...ho fatto questo esercizio e dove dovevo verificare che $(3n^2)/(2n^2-1)$ convergesse a $3/2$ e mi è uscito $n > +-sqrt (epsilon/2)

chiedo troppo se potete ribattermi i calcoli?

la soluzione della disequazione $n > +-sqrt (epsilon/2)$ è sbagliata; in una disequazione di secondo grado le soluzioni in questo caso sono per valori esterni:
$n +sqrt (epsilon/2)$

[skass89]

boh...continuo a fare confusione...perchè hai messo $n+sqrt(epsilon/2)$ non è per valori esterni di solo di $n$? se non è così potresti spiegarmi?

[Nicole931]

la V sta per vel, e riguarda le soluzioni della disequazione di II grado
comunque scusa la distrazione, perchè mi ero scordata il - davanti alla prima soluzione
adesso quindi te le scrivo corrette :
$n<-sqrt(epsilon/2) vv n>sqrt(epsilon/2)$

[skass89]

okok ho capito, quindi in linea di massima (ma non concettualmente) il mio risultato era giusto...ma ora con questa cosa che ci faccio? cioè posso dire che $forall epsilon>0 $ la successione ${a_n}$ converge a $3/2$?

[Nicole931]

sì, perchè la definizione $|a_n-l|sqrt(epsilon/2)$ (l'altra soluzione non è da prendere in considerazione perchè, come ti avevo già detto, n è un numero naturale)
comunque, attenzione, perchè in realtà il risultato esatto della tua disequazione è quello che ti ha scritto Orlok :

"Orlok":

Per quanto riguarda l'ultimo limite dovrebbe essere per $n>\sqrt{(1/2)(\frac{3}{2\epsilon}+1)}=\sqrt{\frac{3+2\epsilon}{4\epsilon}}=\sqrt{\frac{3}{4\epsilon}+1/2}$ (*)

[skass89]

ok provo a rifare i calcoli...grazie!

[skass89]

niente da fare con entrambe gli esercizi:

$|((n-1)/n)-1|
voi avete detto che viene $|1-(1/n)-1|$

a me invece viene da fare il denominatore per -1 in modo da portare il -1 allo sopra lo stesso denominatore e mi viene $|(n-1-n)/n|
stessa cosa per il secondo esercizio dove traccio un unica linea di frazione e al denominatore mi viene $2(2n^2-1)$ che eseguendo i calcoli mi esce: $|3/(4n^2-1)|

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[Nicole931]

tieni presente che la frazione $(n-1)/n$ si spezza in : $1 - 1/n$ (ho diviso ogni numeratore per il denominatore)
per il secondo esercizio : attento, perchè $2(2n^2-1)=4n^2-2$