Successione convergente

[skass89]

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ragazzi sapreste dirmi cos'è quella V con epsilon?

[skass89]

si avevo sbagliato a digitare ma sulla carta è giusto...

ti scrivo tutti i passaggi che faccio...perché non ce la faccio proprio più:

$|(3n^2)/(2n^2-1)-3/2| < epsilon $;

$|(6n^2-6n^2+3)/(2(2n^2-1))| < epsilon $;

$|3/(4n^2-2)| < epsilon $;

prendo i reciproci e moltiplico entrambi i membri per $1/3 $ per eliminare il denominatore al primo membro, quindi mi viene:

$|4n^2-2|>(1/3epsilon)$

porto il $-2$ a destra, ed eseguo la somma moltiplicando $3epsilon * 2 +1$ (il numeratore)

$|4n^2|>(6epsilon)/(3epsilon)$ che semplificato viene $|4n^2|>(2epsilon)/epsilon$

poi:

$|(n^2)>((2epsilon)/epsilon)|/4$;

$|n^2|>((2epsilon)/epsilon)*(1/4)$;

e alla fine mi viene:

$- sqrt ((9epsilon)/(4epsilon) )< n < sqrt ((9epsilon)/(4epsilon));

ora potete correggermi se la matematica la ricordo a modo mio...grazie ancora per la pazienza lo so sto diventando insopportabile...ma devo capirli...

[skass89]

mi sono appena accorto che non può essere...ripeto da capo...

[skass89]

ora mi esce $-sqrt (1/2) < n < sqrt (1/2)

praticamente la $epsilon$ è svanita...mi è uscito questo semplificando $(6epsilon)/(3epsilon)$ e che mi risulta essere $2$

[Camillo]

$epsilon $ non può e non deve sparire...
Non hai fatto il reciproco di $ epsilon $ ; quindi viene $ 4n^2-2> 3/epsilon $ da cui $ n^2> 1/2+3/(4epsilon ) $ .
In conclusione $ n > sqrt( 1/2+3/(4epsilon ))$ trascuro la radice negativa in quanto si tratta di numeri naturali ( sarebbe $ n < -sqrt( 1/2+3/(4epsilon )))$.
Se quindi $ n > sqrt( 1/2+3/(4epsilon ))$ allora la disequazione è verificata e quindi $(3n^2)/(2n^2-1) $ differisce in valore assoluto da $ 3/2 $ di una quantità minore di $ epsilon $.
$ 3/2 $ è pertanto il limite della successione.

[skass89]

cioè io moltiplicavo per $1/3$ e non per $3 $.... no no..sono al quanto stressato...mi serve un po di riposo, grazie Camillo mi hai fatto tirare un sospiro di sollievo e grazie anche a Nicole93 e Orlok, siete stati molto pazienti e questo argomento lo sto padroneggiando finalmente! ora passo alle serie numeriche, ma su queste non dovrei avere grossi problemi perché ho seguito le lezioni! Grazie ancora ragazzi siete grandi!

[Nicole931]

prego, e in bocca al lupo per i tuoi esami!

[Neptune2]

**EDIT:mi sono confuso**:

Ma quindi dire in questo caso che la nostra successione ${an}->1$ significa dire che:

$n> 1/\epsilon$ per ogni $n>= \nu_(\epsilon)$ ?

ed $\nu_(\epsilon)$ si calcola in generale prendendo la parte intera di $1/\epsilon$ e aggiungendogli $1$?

Possiamo anche dire che $\epsilon

Cita

Segnala

[Neptune2]

Stavo provando un'altro esercizio, ho la seguente successione:

$an= 3·n^2/(2·n^2 - 1)$ e devo verificare che converge a $3/2$.

Quindi l'ho impostata in questo modo:
$|3·n^2/(2·n^2 - 1) - 3/2| < \epsilon$

Svolgendo i calcoli mi trovo:

$|3/(4n^2-2)| < \epsilon$

al che dico se ne faccio il reciproco del membro a sinistra mi cambia il senso della disuguaglianza ed ho:


$|(4n^2-2)/3| > \epsilon$

Se moltiplico per $3$ dovrei avere

$|4n^2-2| > 3\epsilon$

A questo punto, sempre se ho fatto bene i calcoli, come me lo trovo il $\nu_(\epsilon)$ t.c sia soddisfatta quella diseguaglianza? oppure posso fare altri calcoli intermedi?

[Neptune2]

non so perchè i calcoli li ho scritti ma non appaiono!
Se fate aggiorna qualche votla invece appaiono. Non so.

[Nicole931]

quando passi ai reciproci, questi devono essere di entrambi i membri
quindi avrai :$2/3*|2n^2-1|>1/epsilon->|2n^2-1|>3/(2epsilon)$
a questo punto devi scomporre nelle due disuguaglianze:
$2n^2-1< -3/(2epsilon) vv 2n^2-1>3/(2epsilon)$
devi tener conto solo della seconda, in quanto la prima non sarà mai verificata, in quanto avresti :
$2n^2<- 3/(2epsilon)+1$, ma un quadrato non può essere mai minore di un numero negativo (ricorda che 3/(2epsilon) è un numero molto grande, in quanto epsilon è un numero molto piccolo)
dunque devi risolvere la disequazione: $2n^2>3/(2epsilon)+1$, le cui soluzioni sono :
$n<-sqrt(3/(4epsilon)+1/2) vv n>sqrt(3/(4epsilon)+1/2)$
anche in questo caso la prima soluzione va scartata, e quindi il limite è verificato $AA n >sqrt(3/(4epsilon)+1/2)$, dove $nu_epsilon =sqrt(3/(4epsilon)+1/2)$

[Neptune2]

Quindi quando divido per un numero negativo, o passo ai reciproci, oltre a doverlo fare per entrambi i membri della disuguaglianza devo anche invertirla?

[Nicole931]

"Neptune":Quindi quando divido per un numero negativo, o passo ai reciproci, oltre a doverlo fare per entrambi i membri della disuguaglianza devo anche invertirla?

non capisco bene cosa intendi dire; comunque è chiaro che le operazioni di moltiplicazione e divisione per uno stesso numero ed il passaggio ai reciproci devono sempre riguardare ambo i membri della disuguaglianza
ad esempio, se hai $2<3$, non puoi scrivere $1/2>3$ (che è evidentemente assurdo) ma bensì $1/2>1/3$

[Neptune2]

Ok allora ho semplicemente fatto confusione, grazie per avermelo fatto notare.