Successione con un dubbio
Ciao a tutti!
Devo valutare a che valore converge questa successione
$lim_(n->+oo)(1+3/(n^2+n^4))^n$
so di certo che la risoluzione inizia prendendo in esame la successione conosciuta
$lim_(n->+oo)(1+1/n)^n = e$
e quindi effettuando la sostituzione
$1/m=3/(n^2+n^4)$
il problema appare ora: come effettuare la sostituzione di n come esponente? Effettuata anche quella sostituzione il calcolo è semplice ma.. come fare?
Devo valutare a che valore converge questa successione
$lim_(n->+oo)(1+3/(n^2+n^4))^n$
so di certo che la risoluzione inizia prendendo in esame la successione conosciuta
$lim_(n->+oo)(1+1/n)^n = e$
e quindi effettuando la sostituzione
$1/m=3/(n^2+n^4)$
il problema appare ora: come effettuare la sostituzione di n come esponente? Effettuata anche quella sostituzione il calcolo è semplice ma.. come fare?
Risposte
Basta scrivere $(1+3/(n^2+n^4))^n=(1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3 (3n)/(n^2+n^4))$.
grazie. sta roba è peggio delle parole crociate o del sodoku
no, mi ricredo. Lo sviluppo che hai scritto tu che facilitazioen comporta? Non capisco
per il limite che ha scritto luca:
$lim_(x-+oo)(1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3 (3n)/(n^2+n^4))$
la parte $(1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3$, se ne consideri il limite tende ad $e$ (prova a sostituire $m=(n^2+n^4)/3$)
quindi il limite si riduce a;
$lim_(xrarr+oo)(e^((3n)/(n^2+n^4)))=e^0=1$
ciao
$lim_(x-+oo)(1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3 (3n)/(n^2+n^4))$
la parte $(1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3$, se ne consideri il limite tende ad $e$ (prova a sostituire $m=(n^2+n^4)/3$)
quindi il limite si riduce a;
$lim_(xrarr+oo)(e^((3n)/(n^2+n^4)))=e^0=1$
ciao
grazie.
Solo un appunto: è vero che il primo limite vale $e$, ma poi non è lecito sostituire interamente $e$ e passare al limite una seconda volta. Al limite si passa una volta sola.
La cosa si corregge osservando che la successione in questione è stata scritta nella forma $a_n^(b_n)$ dove $a_n \to e$ e $b_n \to 0$, e dunque per continuità si ha $a_n^(b_n) \to 1$.
La cosa si corregge osservando che la successione in questione è stata scritta nella forma $a_n^(b_n)$ dove $a_n \to e$ e $b_n \to 0$, e dunque per continuità si ha $a_n^(b_n) \to 1$.
Un consiglio agli studenti: fate tesoro dell'affermazione di Luca Lussardi "Solo un appunto: è vero che il primo limite vale $e$, ma poi non è lecito sostituire interamente $e$ e passare al limite una seconda volta. Al limite si passa una volta sola. ".
Vi consentirà di evitare sonore cantonate.
Vi consentirà di evitare sonore cantonate.
"Luca.Lussardi":
Solo un appunto: è vero che il primo limite vale $e$, ma poi non è lecito sostituire interamente $e$ e passare al limite una seconda volta. Al limite si passa una volta sola.
La cosa si corregge osservando che la successione in questione è stata scritta nella forma $a_n^(b_n)$ dove $a_n \to e$ e $b_n \to 0$, e dunque per continuità si ha $a_n^(b_n) \to 1$.
Mi ero accorto dell'informalità della mia scrittura, ma ero di fretta e ho lasciato così... Comunque ti ringrazio della precisazione! A volte sono proprio ossessionato dal fatto di non scrivere i passaggi formalmente giusti, specialmente perchè quest'anno questa cosa può essere molto influente(a differenza delle superiori quando il prof, entro certi limiti, lasciava correre)
Ciao
"kinder":
Un consiglio agli studenti: fate tesoro dell'affermazione di Luca Lussardi. 'Solo un appunto: è vero che il primo limite vale $e$, ma poi non è lecito sostituire interamente $e$ e passare al limite una seconda volta. Al limite si passa una volta sola'... vi consentirà di evitare sonore cantonate...
La scorsa estate lo scrivente ha aperto un thread specificatamente sul problema del ‘limite di successioni complesse’. Il thread è il seguente…
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=
In sostanza si trattava di dire se il seguente enunciato fosse ‘vero’ o ‘falso’…
Siano date due successioni $x_n$ e $y_n$ tali che…
$lim_(n->+oo) x_n=x_0$ , $lim_ (n->+oo) y_n=y_0$ (1)
i sia $f(x,y)$ una funzione delle variabili $x$ e $y$ continua in $(x_0,y_0)$. Sotto tali ipotesi è…
$lim_(n->+oo) f(x_n,y_n)= lim_(n->+oo) f(x_0,y_n)=$
$=lim_(n->+oo) f(x_n,y_0)= f(x_0,y_0)$ (2)
Alla richiesta un eminentissimo membro del forum dotato di conoscenze matematiche ‘sicuramente superiori alla media’ ha affermato il suddetto enunciato essere vero. Nella auspicabile ipotesi che da questa estate non siano accaduti ‘fatti’ tale da ribaltare il suddetto giudizio, possiamo considerare dunque vero il suddetto enunciato…
Venendo ora all’argomento specifico del quesito posto da bertuz, la ‘soluzione’ fornita da Durst non è stata altro che una applicazione della regola generale su esposta nel caso in cui…
$x_n= (1+1/((n^2+n^4)/3))^((n^2+n^4)/3$ -> $lim_(n->+oo) x_n=e$
$y_n= (3n)/(n^2+n^4)$ -> $lim_(n->+oo) y_n=0$
$f(x,y)= x^y$, continua in $(e,0)$ (3)
Ne consegue che si è in un caso in cui è possibile procedere al calcolo separato dei limiti delle due successioni [$x_0$ e $y_0$…] e successivamente al calcolo del limite complessivo [pari a $f(x_0,y_0)$…]. Pertanto il procedimento seguito da Durst è da considerarsi assolutamente corretto e la successiva ‘obiezione’ avanzata dal signore i cui consigli ‘eviterebbero la presa di cantonate’ assolutamente priva di fondamento…
Quanto poi all’affermazione fatta dal nostro amico kid [versione anglosassone del tedesco kinder=’bambino’…] vi è da dire che è da sottoscrivere in pieno e senza riserve. Solo che, al fine di evitare ‘incomprensioni’ da parte degli utenti del forum, l’ultima riga andrebbe completata nel modo seguente…
… vi eviterà di prendere sonore cantonate… purchè abbiate l’accortezza di prendere per 'buono' l’opposto di quanto da lui affermato…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Vedi lupo grigio, il problema non sta nel fatto che quello che dici sia vero o no (e confermo anche io che è vero, come diceva Fioravante) ma sta nel fatto che chi sta facendo limiti di successioni non conosce di certo la continuità in due variabili. E non conoscendo quella, quel risultato che hai postato non si può dimostrare, non si può nemmeno enunciare. Dunque se uno lavora in una variabile e non conosce altro, al limite deve passare una volta sola.
Io spero solo che questo tuo post, come tanti altri, generi poca confusione e non induca in errore studenti che sono alle prime armi con queste cose e che magari leggendo le tue parole adesso per fare i limiti passano tranquillamente ad un pezzo alla volta, prendendo sì delle cantonate se le funzioni in gioco non sono continue.
Quindi, studenti attenzione alle parole di lupo grigio. Se non conoscete e non sapete valutare la continuità in più variabili, lasciate perdere.
Io spero solo che questo tuo post, come tanti altri, generi poca confusione e non induca in errore studenti che sono alle prime armi con queste cose e che magari leggendo le tue parole adesso per fare i limiti passano tranquillamente ad un pezzo alla volta, prendendo sì delle cantonate se le funzioni in gioco non sono continue.
Quindi, studenti attenzione alle parole di lupo grigio. Se non conoscete e non sapete valutare la continuità in più variabili, lasciate perdere.
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