Su spazi metrici completi
Buonasera a tutti. Propongo il seguente esercizio, nella speranza che qualcuno mi possa illuminare.
Gli spazi metrici completi sono un argomento nuovo, quindi abbiate pietà.
Svolgimento:
Allora, ho calcolato l'immagine di questa metrica che risulta essere \(\displaystyle A \times B \) ove \(\displaystyle A=[-1,0) \cup (0,1] \) e \(\displaystyle B=(-1,1] \). Quindi sospetto che ci sarà un problema di qualche tipo nel punto \(\displaystyle (0,-1) \).
Prima domanda: per verificare che \(\displaystyle \phi \) è una distanza devo mettermi a fare tutti i conti o posso semplicemente osservare che \(\displaystyle \mathbb{R^{n}} \) con la funzione distanza \(\displaystyle d(x,y)=|x-y|=\left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i} - y_{i} |^{2} \right)^{1/2} \) è uno spazio metrico?
Per il secondo punto, osservo che uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy in esso è convergente.
Considero la successione \(\displaystyle a_{n}=n \); sicuramente, fissato \(\displaystyle \epsilon \), riesco a trovare \(\displaystyle \overline{n} \) tale che \(\displaystyle |\phi(n) - \phi(m)|<\epsilon \) \(\displaystyle \ \forall n,m \ge \overline{n} \) ma la successione \(\displaystyle a_{n} \) non converge (domanda seconda: dove? In \(\displaystyle \mathbb{R} \)?)
Terza domanda: è sufficiente questo per affermare che un tale spazio metrico non è completo?
Ringrazio.
Gli spazi metrici completi sono un argomento nuovo, quindi abbiate pietà.
Dopo aver determinato l'immagine della funzione \(\displaystyle \phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R^{2}} \)
\[\displaystyle \phi(x)= \left ( \frac{2x}{1+x^{2}},\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} \right) \]
considerare lo spazio metrico \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \) con la distanza
\[\displaystyle d(x,y)=|\phi(x) - \phi(y)| \]
i) Provare che \(\displaystyle d \) è effettivamente una metrica su \(\displaystyle \mathbb{R} \);
ii) Provare che \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \) non è completo;
iii) Calcolare il completamento di questo spazio metrico.
Svolgimento:
Allora, ho calcolato l'immagine di questa metrica che risulta essere \(\displaystyle A \times B \) ove \(\displaystyle A=[-1,0) \cup (0,1] \) e \(\displaystyle B=(-1,1] \). Quindi sospetto che ci sarà un problema di qualche tipo nel punto \(\displaystyle (0,-1) \).
Prima domanda: per verificare che \(\displaystyle \phi \) è una distanza devo mettermi a fare tutti i conti o posso semplicemente osservare che \(\displaystyle \mathbb{R^{n}} \) con la funzione distanza \(\displaystyle d(x,y)=|x-y|=\left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i} - y_{i} |^{2} \right)^{1/2} \) è uno spazio metrico?
Per il secondo punto, osservo che uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy in esso è convergente.
Considero la successione \(\displaystyle a_{n}=n \); sicuramente, fissato \(\displaystyle \epsilon \), riesco a trovare \(\displaystyle \overline{n} \) tale che \(\displaystyle |\phi(n) - \phi(m)|<\epsilon \) \(\displaystyle \ \forall n,m \ge \overline{n} \) ma la successione \(\displaystyle a_{n} \) non converge (domanda seconda: dove? In \(\displaystyle \mathbb{R} \)?)
Terza domanda: è sufficiente questo per affermare che un tale spazio metrico non è completo?
Ringrazio.
Risposte
"Delirium":
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Per il secondo punto, osservo che uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy in esso è convergente.
Considero la successione \(\displaystyle a_{n}=n \); sicuramente, fissato \(\displaystyle \epsilon \), riesco a trovare \(\displaystyle \overline{n} \) tale che \(\displaystyle |\phi(n) - \phi(m)|<\epsilon \) \(\displaystyle \ \forall n,m \ge \overline{n} \) ma la successione \(\displaystyle a_{n} \) non converge (domanda seconda: dove? In \(\displaystyle \mathbb{R} \)?)
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Ringrazio.
In $(RR,d)$.
Ok, grazie. Quanto alle altre domande? Mi sai dare un'indicazione?
E per trovare poi l'eventuale completamento, come posso fare?
E per trovare poi l'eventuale completamento, come posso fare?
Ti do alcuni suggerimenti - non ho fatto conti fidandomi delle mie impressioni, quindi (soprattutto nel punto 3) potrei aver preso qualche abbaglio ....
1) Devi fare qualche conto per verificare le proprietà della distanza, ma non dovrebbe essere difficile.
2) La successione che hai scelto va bene. Hai dimostrato che $a_n=n$ è di Cauchy in $(RR,d)$, ora devi dimostrare che $a_n$
non ha limite in $(RR,d)$. Per questo potresti dimostrare che se $d(a_n,l)\to 0$ allora $|a_n-l|\to 0$ da cui ...
In altri termini dovresti dimostrare che l'immersione $i:(RR,d)\to RR$ ( $RR$ considerato con la metrica euclidea) definita da $i(x)=x$ è continua.
3) A occhio direi che devi aggiungere a $RR$ un punto - indichiamolo con $\infty$. Se definisci $\Phi(\infty)=(0,-1)$ puoi
estendere $d$ a $RR\cup{\infty}$ e provare a dimostrare che $(RR\cup{\infty},d)$ è completo.
L'idea è che devi aggiungere a $RR$ i limiti di tutte le possibili successioni di Cauchy. Ora una successione $a_n$ di Cauchy in
$(RR,d)$ se è limitata è anche di Cauchy in $RR$ e quindi .... Se è illimitata dovrebbe venire che $|a_n|\to+\infty$ e quindi
$Phi(a_n)\to(0,1)$.
P.S. Il modo giusto di vedere il problema passa per la visualizzazione in $RR^2$ dell'immagine di $\Phi$ che mi sembra il cerchio di raggio 1, ma non so se hai familiarità con le curve.
1) Devi fare qualche conto per verificare le proprietà della distanza, ma non dovrebbe essere difficile.
2) La successione che hai scelto va bene. Hai dimostrato che $a_n=n$ è di Cauchy in $(RR,d)$, ora devi dimostrare che $a_n$
non ha limite in $(RR,d)$. Per questo potresti dimostrare che se $d(a_n,l)\to 0$ allora $|a_n-l|\to 0$ da cui ...
In altri termini dovresti dimostrare che l'immersione $i:(RR,d)\to RR$ ( $RR$ considerato con la metrica euclidea) definita da $i(x)=x$ è continua.
3) A occhio direi che devi aggiungere a $RR$ un punto - indichiamolo con $\infty$. Se definisci $\Phi(\infty)=(0,-1)$ puoi
estendere $d$ a $RR\cup{\infty}$ e provare a dimostrare che $(RR\cup{\infty},d)$ è completo.
L'idea è che devi aggiungere a $RR$ i limiti di tutte le possibili successioni di Cauchy. Ora una successione $a_n$ di Cauchy in
$(RR,d)$ se è limitata è anche di Cauchy in $RR$ e quindi .... Se è illimitata dovrebbe venire che $|a_n|\to+\infty$ e quindi
$Phi(a_n)\to(0,1)$.
P.S. Il modo giusto di vedere il problema passa per la visualizzazione in $RR^2$ dell'immagine di $\Phi$ che mi sembra il cerchio di raggio 1, ma non so se hai familiarità con le curve.
Ti ringrazio infinitamente per il tuo aiuto. Procedo con ordine e con un po' di insistenza perché questo è un esercizio cruciale, e quindi vorrei completarlo bene.
Le prime due proprietà di una metrica sono banalmente verificate, quanto alla terza potrei - magari dico una sciocchezza - semplicemente appoggiarmi al fatto che \(\displaystyle |\phi(x) - \phi(y)| \le |\phi(x) - \phi(z)| + |\phi(z) - \phi(y)| \), disuguaglianza che so essere valida anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n} \), ove in questo caso \[\displaystyle |\phi(x) - \phi(y)|=\sqrt{\left( \frac{2x}{1+x^{2}} - \frac{2y}{1+y^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} - \frac{1 - y^{2}}{1+y^{2}} \right)^{2}} \]
Ad ogni modo qualunque siano le coordinate prese, la disuguaglianza vale. Dico male?
Ma quindi devo dimostrare che tale successione non converge in \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \), con \(\displaystyle d \) metrica standard?
Perché con la metrica definita dall'esercizio quella successione dovrebbe convergere a \(\displaystyle (0,-1) \), che però non è punto dell'immagine.
Quanto dici qui sopra è ragionevole, ma non mi è del tutto chiaro. Io ci ragiono, ma se vuoi spendere un paio di parole in più, ne sarei ben lieto
"ViciousGoblin":
1) Devi fare qualche conto per verificare le proprietà della distanza, ma non dovrebbe essere difficile.
Le prime due proprietà di una metrica sono banalmente verificate, quanto alla terza potrei - magari dico una sciocchezza - semplicemente appoggiarmi al fatto che \(\displaystyle |\phi(x) - \phi(y)| \le |\phi(x) - \phi(z)| + |\phi(z) - \phi(y)| \), disuguaglianza che so essere valida anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n} \), ove in questo caso \[\displaystyle |\phi(x) - \phi(y)|=\sqrt{\left( \frac{2x}{1+x^{2}} - \frac{2y}{1+y^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} - \frac{1 - y^{2}}{1+y^{2}} \right)^{2}} \]
Ad ogni modo qualunque siano le coordinate prese, la disuguaglianza vale. Dico male?
"ViciousGoblin":
2) La successione che hai scelto va bene. Hai dimostrato che $a_n=n$ è di Cauchy in $(RR,d)$, ora devi dimostrare che $a_n$
non ha limite in $(RR,d)$. Per questo potresti dimostrare che se $d(a_n,l)\to 0$ allora $|a_n-l|\to 0$ da cui ...
In altri termini dovresti dimostrare che l'immersione $i:(RR,d)\to RR$ ( $RR$ considerato con la metrica euclidea) definita da $i(x)=x$ è continua.
Ma quindi devo dimostrare che tale successione non converge in \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \), con \(\displaystyle d \) metrica standard?
Perché con la metrica definita dall'esercizio quella successione dovrebbe convergere a \(\displaystyle (0,-1) \), che però non è punto dell'immagine.
"ViciousGoblin":
3) A occhio direi che devi aggiungere a $RR$ un punto - indichiamolo con $\infty$. Se definisci $\Phi(\infty)=(0,-1)$ puoi
estendere $d$ a $RR\cup{\infty}$ e provare a dimostrare che $(RR\cup{\infty},d)$ è completo.
L'idea è che devi aggiungere a $RR$ i limiti di tutte le possibili successioni di Cauchy. Ora una successione $a_n$ di Cauchy in
$(RR,d)$ se è limitata è anche di Cauchy in $RR$ e quindi .... Se è illimitata dovrebbe venire che $|a_n|\to+\infty$ e quindi
$Phi(a_n)\to(0,1)$.
Quanto dici qui sopra è ragionevole, ma non mi è del tutto chiaro. Io ci ragiono, ma se vuoi spendere un paio di parole in più, ne sarei ben lieto
Riguardo alla 2) le cose dovrebbero stare così: prendi $a_n=n$ e verifichi che ${a_n}$ è di Cauchy in $(RR,d)$ ($d$ è quella
costruita con $\phi$); se ${a_n}$ avesse limite in $(RR,d)$, cioè se esistesse un $l$ in $RR$ tale che $d(a_n,l)\to 0$, SECONDO ME (da controllare!) ne seguirebbe $|a_n-l|to 0$ ($a_n$ tenderebbe a $l$ in $RR$ con la metrica standard); questo è assurdo perché $a_n\to+\infty$ in $RR$.
Per la 3) ne riparliamo - nota intanto che la $\phi$ è un'applicazione continua e iniettiva da $RR$ in $RR^2$ e che la sua immagine è il cerchio $X^2+Y^2=1$ escluso il punto $(0,-1)$.
costruita con $\phi$); se ${a_n}$ avesse limite in $(RR,d)$, cioè se esistesse un $l$ in $RR$ tale che $d(a_n,l)\to 0$, SECONDO ME (da controllare!) ne seguirebbe $|a_n-l|to 0$ ($a_n$ tenderebbe a $l$ in $RR$ con la metrica standard); questo è assurdo perché $a_n\to+\infty$ in $RR$.
Per la 3) ne riparliamo - nota intanto che la $\phi$ è un'applicazione continua e iniettiva da $RR$ in $RR^2$ e che la sua immagine è il cerchio $X^2+Y^2=1$ escluso il punto $(0,-1)$.
Tutto chiaro quanto mi hai ribadito. Rimane il problema del completamento, a cui ovviamente penserò comunque anch'io.
Ti ringrazio di nuovo.
Ti ringrazio di nuovo.
Riporto in alto nella speranza che qualcuno mi possa confermare ancora alcuni punti.
Nelle dispense scritte dal mio professore c'è risolto un esercizio quasi identico, ove la distanza è definita come \(\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x) - \arctan(y)| \). Utilizzando la stessa successione (\(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}=n \)) il professore ha provato che essa è di Cauchy nella metrica definita, e poi ha concluso: "Tuttavia la successione non converge ad alcun elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) [...]". Ma con quale metrica? Qual è, più in generale, la relazione tra la metrica standard e la metrica così definita? La convergenza nell'una implica convergenza nell'altra? Viceversa?
Per quanto riguarda il terzo punto, mi pare evidente, come mi ha più volte ribadito ViciousGoblin, che bisogna fare in modo che tutte le successioni di Cauchy siano anche convergenti, aggiungendo il punto mancante. Ma come provo che effettivamente, aggiungendo quel nuovo punto, tutte le successioni di Cauchy convergono?
Domando di nuovo venia per l'insistenza ma, ribadisco, questo è un esercizio cruciale che vorrei comprendere in maniera definitiva.
Ringrazio.
Nelle dispense scritte dal mio professore c'è risolto un esercizio quasi identico, ove la distanza è definita come \(\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x) - \arctan(y)| \). Utilizzando la stessa successione (\(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}=n \)) il professore ha provato che essa è di Cauchy nella metrica definita, e poi ha concluso: "Tuttavia la successione non converge ad alcun elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) [...]". Ma con quale metrica? Qual è, più in generale, la relazione tra la metrica standard e la metrica così definita? La convergenza nell'una implica convergenza nell'altra? Viceversa?
Per quanto riguarda il terzo punto, mi pare evidente, come mi ha più volte ribadito ViciousGoblin, che bisogna fare in modo che tutte le successioni di Cauchy siano anche convergenti, aggiungendo il punto mancante. Ma come provo che effettivamente, aggiungendo quel nuovo punto, tutte le successioni di Cauchy convergono?
Domando di nuovo venia per l'insistenza ma, ribadisco, questo è un esercizio cruciale che vorrei comprendere in maniera definitiva.
Ringrazio.
Riprovo a darti un suggerimento su come svolgere il terzo punto.
1) aggiungi a $RR$ un punto che, tanto per dargli un nome, indichi con $\infty$. Chiama $X:=RR\cup{\infty}$.
2) definisci $\phi(\infty)$ come $(0,1)$. Un questo modo $\phi(x)$ ha senso per ogni $x\in X$.
3) definisci la distanza su $X$ ponendo (guarda caso ....) $d(x,y):=||\phi(x)-\phi(y)||$ (preferisco usare la doppia barra per
ricordarmi che si tratta di una norma in $RR^2$). Mi sembra chiaro che $(RR,d)$ è un sottospazio metrico di $(X,d)$.
4) Dimostri che $(X,d)$ è completo. Per questo presa ${a_n}$ di Cauchy in $(X,d)$ distingui due casi:
a) ${a_n}$ è limitata in $RR$ (quando non metto $d$ sottintendo che uso la metrica euclidea usale).
Allora dovresti ottenere (DA DIMOSTRARE) che ${a_n}$ è di Cauchy in $RR$, dunque ha limite $l$ in $RR$. Ma allora
(DA DIMOSTRARE) $a_n$ tende a $l$ in $(RR,d)$.
b) ${a_n}$ non è limitata in $RR$. Allora possiede una sottosuccessione ${a_{n_k}}$ tale che $|a_{n_k}|\to+\infty$.
Ne segue che (VERIFICARE) $\phi(a_n)\to(0,1)$ e quindi $||\phi(a_{n_k})-\phi(\infty)||\to0$. Ma per definizione di
$d$ questo significa che $a_{n_k}\to\infty$ in $(RR,d)$. D'altra parte (FATTO GENERALE) se una successione di Cauchy
ha una sottosuccessione convergente, allora tutta la successione converge.
Dunque in questo secondo caso la successione ${a_n}$ tende a $\infty$.
5) a questo punto mi sembra evidente che $(X,d)$ è il completamento di $(RR,d)$ (QUI VEDI TU...)
Hope it helps
1) aggiungi a $RR$ un punto che, tanto per dargli un nome, indichi con $\infty$. Chiama $X:=RR\cup{\infty}$.
2) definisci $\phi(\infty)$ come $(0,1)$. Un questo modo $\phi(x)$ ha senso per ogni $x\in X$.
3) definisci la distanza su $X$ ponendo (guarda caso ....) $d(x,y):=||\phi(x)-\phi(y)||$ (preferisco usare la doppia barra per
ricordarmi che si tratta di una norma in $RR^2$). Mi sembra chiaro che $(RR,d)$ è un sottospazio metrico di $(X,d)$.
4) Dimostri che $(X,d)$ è completo. Per questo presa ${a_n}$ di Cauchy in $(X,d)$ distingui due casi:
a) ${a_n}$ è limitata in $RR$ (quando non metto $d$ sottintendo che uso la metrica euclidea usale).
Allora dovresti ottenere (DA DIMOSTRARE) che ${a_n}$ è di Cauchy in $RR$, dunque ha limite $l$ in $RR$. Ma allora
(DA DIMOSTRARE) $a_n$ tende a $l$ in $(RR,d)$.
b) ${a_n}$ non è limitata in $RR$. Allora possiede una sottosuccessione ${a_{n_k}}$ tale che $|a_{n_k}|\to+\infty$.
Ne segue che (VERIFICARE) $\phi(a_n)\to(0,1)$ e quindi $||\phi(a_{n_k})-\phi(\infty)||\to0$. Ma per definizione di
$d$ questo significa che $a_{n_k}\to\infty$ in $(RR,d)$. D'altra parte (FATTO GENERALE) se una successione di Cauchy
ha una sottosuccessione convergente, allora tutta la successione converge.
Dunque in questo secondo caso la successione ${a_n}$ tende a $\infty$.
5) a questo punto mi sembra evidente che $(X,d)$ è il completamento di $(RR,d)$ (QUI VEDI TU...)
Hope it helps
ViciousGoblin, ti ringrazio davvero per le tue dritte. Ora mi è tutto più chiaro, e so come procedere anche per chiudere la dimostrazione (isometria e densità).
Grazie di nuovo.
Daniele
Grazie di nuovo.
Daniele
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