Studio serie di funzioni
Non riesco a capire come studiare la seguente serie di funzioni:
$\sum_(n=1)^(+\infty) 4^(-n)*((n+1)/n)^(n^2)*(x-2)^n$
Analizzandola mi sembra che sia una serie di potenze definita in tutto $RR$.Corretto?
$\sum_(n=1)^(+\infty) 4^(-n)*((n+1)/n)^(n^2)*(x-2)^n$
Analizzandola mi sembra che sia una serie di potenze definita in tutto $RR$.Corretto?
Risposte
Ma no, non ti fare imbrogliare. Questa è una trappola dell'estensore dell'esercizio e tu ci sei cascato in pieno (sempre che la traccia sia scritta correttamente). Porta fuori dal simbolo di somma tutto il portabile, e vedi che cosa succede.
scusa avevo sbagliato a scrivere la traccia; adesso è corretta.
[tex]\displaystyle \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}[/tex].
Non ti si accende alcuna lampadina?
Non ti si accende alcuna lampadina?
l'unica idea che mi è venuta è che si trattasse di una serie di potenze; ho sbagliato?
No, è giusto quello che dici, ma forse scritta così non vedi bene come si comporta.
Se trasformi il pezzo che ti ho evidenziato, arrivi a qualcosa di più facile!
Se trasformi il pezzo che ti ho evidenziato, arrivi a qualcosa di più facile!
Osservandolo così mi viene in mente che sicuramente è un termine $>1$ posso scriverlo come $(1+1/n)^(n^2)$
Per ora non c'è male, ora fai saltare fuori qualcosa di MOLTO "notevole"!
"Raptorista":
Per ora non c'è male, ora fai saltare fuori qualcosa di MOLTO "notevole"!
Aggiungo ciò è utile quando si calcola il raggio di convergenza col criterio della radice.
Un limite notevole ho capito.Giusto? 
a questo punto posso applicare il teorema della radice giusto?
Ma scusa non fai prima a provare ad applicarlo, vedere cosa succede e riflettere sul risultato ottenuto, invece di chiedere conferma al forum per ogni passo? E' proprio in questo processo che c'è l'apprendimento: come si dice, sulle cose bisogna sbatterci la testa. Poi, dopo avere fatto tutto questo, vieni qui e scrivi cosa hai ottenuto e le tue considerazioni.
Mi trovi d'accordo con te; infatti nel frattempo l'ho fatto; e utilizzando il criterio della radice ho ottenuto:
$lim_(n->+\infty)sqrt(a_n)=e/4$$rArr$$r=4/e$
Quindi la serie converge assolutamente e quindi puntualmente nell'intervallo $] 2-4/e,2+4/e [$
Converge totalmete e quindi uniformente in $]2-k,2+k[$ con $0
Se studio la serie di partenza nel punto $x=2+4/e$ la serie numerica che ottengo :
$sum_(n=1)^(+\infty)((n+1)/n)^(n^2)*1/e^n$
$lim_(n->+\infty)sqrt(a_n)=e/4$$rArr$$r=4/e$
Quindi la serie converge assolutamente e quindi puntualmente nell'intervallo $] 2-4/e,2+4/e [$
Converge totalmete e quindi uniformente in $]2-k,2+k[$ con $0
Se studio la serie di partenza nel punto $x=2+4/e$ la serie numerica che ottengo :
$sum_(n=1)^(+\infty)((n+1)/n)^(n^2)*1/e^n$
Ora se non sbaglio il termine generale di questa serie non è infinitesimo per $n->+\infty$; infatti per $n->+\infty$ il limite dovrebbe essere $1$; anche se maple mi da come valore del limite $e^(-1/2)$ (non riesco a capire come).Giusto o sbaglio?
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