Studio serie di Fourier con parametro
Ciao a tutti! 
Qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa tipologia di esercizio?
Sia \(a0 + \sum{ (ak (cos (kx) )+ bk (sin (kx))) }\) la serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π, che in [−π, π] è cosÍ definita:
\(f(x)=\biggl\{
\begin{array}\{0 \space\ \space\ x\in[-\pi,-\pi/2]\cup[\pi,\pi/2],\\2x+\pi \space\ \space\ x\in(-\pi/2,0]\\(x-\pi/2)\alpha \space\ \space\ x\in(0,\pi/2)\end{array}\)
Le richieste sono:
(1) Per ogni α ∈ R, calcolare la somma della serie in x = 0 e in x = π / 2
(2) Motivando la risposta, dire per quali valori di α ∈ R la serie di Fourier di f:
(a) converge in norma quadratica a f;
(b) converge puntualmente a f su R;
(c) converge uniformemente a f su R.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa tipologia di esercizio? Sia \(a0 + \sum{ (ak (cos (kx) )+ bk (sin (kx))) }\) la serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π, che in [−π, π] è cosÍ definita:
\(f(x)=\biggl\{
\begin{array}\{0 \space\ \space\ x\in[-\pi,-\pi/2]\cup[\pi,\pi/2],\\2x+\pi \space\ \space\ x\in(-\pi/2,0]\\(x-\pi/2)\alpha \space\ \space\ x\in(0,\pi/2)\end{array}\)
Le richieste sono:
(1) Per ogni α ∈ R, calcolare la somma della serie in x = 0 e in x = π / 2
(2) Motivando la risposta, dire per quali valori di α ∈ R la serie di Fourier di f:
(a) converge in norma quadratica a f;
(b) converge puntualmente a f su R;
(c) converge uniformemente a f su R.
Risposte
Data la funzione:
\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \ \frac{\pi}{2} \leq |x| \leq \pi \\ 2x + \pi, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right ), & \ \ 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
il suo sviluppo in serie di Fourier è della forma:
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \Big ( a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx) \Big ) \]
dove:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right ) \ \mathrm dx = \dots \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \cos (nx) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right )\cos (nx) \ \mathrm dx = \dots \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin (n x ) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \sin (nx) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right )\sin (nx) \ \mathrm dx = \dots \]
A te il piacere di integrare
\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \ \frac{\pi}{2} \leq |x| \leq \pi \\ 2x + \pi, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right ), & \ \ 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
il suo sviluppo in serie di Fourier è della forma:
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \Big ( a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx) \Big ) \]
dove:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right ) \ \mathrm dx = \dots \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \cos (nx) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right )\cos (nx) \ \mathrm dx = \dots \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin (n x ) \ \mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} ( 2 x + \pi ) \sin (nx) \ \mathrm dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \alpha \left ( x - \frac{\pi}{2} \right )\sin (nx) \ \mathrm dx = \dots \]
A te il piacere di integrare
Grazie per avermi risposto
Sperando di non aver sbagliato i calcoli ho ottenuto :
\(f(x)= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\alpha+\frac{1}{\pi}\sum(\frac{2}{n^2}- \frac{\alpha}{n^2})cos(nx)+(\frac{-\alpha}{n} \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{n}+ \frac{2+\alpha}{n^2}(-1)^n)sen(nx)\)
Quindi per il primo punto quando sostituisco i valori di x si annulla per \(0\) bk e per \(\pi/2\) ak ,il problema è che ottengo serie a segno alterno di cui so studiare la convergenza(divergenza) ma non so trovare la somma
Puoi spiegarmi come fare?
Sperando di non aver sbagliato i calcoli ho ottenuto :
\(f(x)= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\alpha+\frac{1}{\pi}\sum(\frac{2}{n^2}- \frac{\alpha}{n^2})cos(nx)+(\frac{-\alpha}{n} \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{n}+ \frac{2+\alpha}{n^2}(-1)^n)sen(nx)\)
Quindi per il primo punto quando sostituisco i valori di x si annulla per \(0\) bk e per \(\pi/2\) ak ,il problema è che ottengo serie a segno alterno di cui so studiare la convergenza(divergenza) ma non so trovare la somma
Puoi spiegarmi come fare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo