Studio minimi e massimi relativi con hessiano nullo metodo delle rette
Salve ragazzi, e da un paio di giorni che ci sto sbattendo la testa e non riesco proprio a capire come applicare questo benedetto metodo delle rette per l'hessiano nullo....ma andiamo per gradi...ho preso come funzione in due variabili la seguente:
F(x,y) = $ 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $
risparmio i calcoli di derivate parziali
i punti critici sono $ (sqrt(2)/2,sqrt(2)/2 ), (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(0,0) $
ora nei primi 2 non c'è problema svolgo le derivate seconde di x e di y, svolgo la derivata secondo xy faccio "il metodo con l'hessiano" e il resto e easy, per quanto riguarda (0,0) l'hessiano mi risulta nullo, ho provato a capire qualcosa nel libro di testo ma niente, chiedo a uno di voi se gentilmente può illustrarmi come utilizzare il metodo delle rette in questo caso.
F(x,y) = $ 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $
risparmio i calcoli di derivate parziali
i punti critici sono $ (sqrt(2)/2,sqrt(2)/2 ), (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(0,0) $
ora nei primi 2 non c'è problema svolgo le derivate seconde di x e di y, svolgo la derivata secondo xy faccio "il metodo con l'hessiano" e il resto e easy, per quanto riguarda (0,0) l'hessiano mi risulta nullo, ho provato a capire qualcosa nel libro di testo ma niente, chiedo a uno di voi se gentilmente può illustrarmi come utilizzare il metodo delle rette in questo caso.
Risposte
Non so se quello che intendo io si chiami "metodo delle rette" però potrebbe chiamarsi così in effetti...
Dunque la nostra speranza è che l'origine sia un punto di sella, quindi il nostro obbiettivo è mostrare che esistono strade lungo le quali l'origine è un massimo e strade lungo le quali è un minimo.
Allora per l'origine prima di tutto ritorniamo alla tua funzione originale, e la valutiamo lungo le rette $y=mx$ ottenendo la funzione
$$
f(x,mx)=2(m^4+1)x^4+2-(m+1)^2x^2
$$
questa è una funzione di una variabile quindi la studiamo nell'origine, come sempre studiandone la derivata:
$$
f'(x,mx)=8(m^4+1)x^3-2(m+1)x
$$
ora studiamo quando $f>0$ come sempre ed otteniamo che la disuguaglianza ha come risultati
$$
x>0
\\
x<-\frac{|m+1|}{2\sqrt{m^4+1}} \vee x>\frac{|m+1|}{2\sqrt{m^4+1}}
$$
a questo punto c'è da stare attenti alla posizione delle espressioni ottenute in $m$ rispetto a zero prima di fare il prodotto dei segni, come si vede la prima è sempre negativa e la seconda è sempre positiva, quindi va tutto bene ad eccezione di un caso ovvero di $m=-1$ per il quale le due espressioni si annullano, ed è un caso che studieremo a parte dopo.
ora per $m\ne -1$ possiamo fare il prodotto dei segni ottenendo che lungo tali rette l'origine rappresenta un massimo.
Ora invece facciamo la sostituzione esplicita $y=-x$ per vedere cosa succede per $m=-1$ ,otteniamo la funzione
$$
f(x,-x)=4x^4+2
$$
Questo è paraboloide convesso di quarto grado quindi chiaramente ha un minimo nell'origine (ma se non sei convinto puoi fare i conti)
Quindi abbiamo trovato che lungo la retta $y=-x$ la funzione $f$ in zero ha un minimo, mentre lungo ad esempio la retta $y=x$ la funzione $f$ ha un massimo, quindi $(0,0)$ è un punto a sella.
Dunque la nostra speranza è che l'origine sia un punto di sella, quindi il nostro obbiettivo è mostrare che esistono strade lungo le quali l'origine è un massimo e strade lungo le quali è un minimo.
Allora per l'origine prima di tutto ritorniamo alla tua funzione originale, e la valutiamo lungo le rette $y=mx$ ottenendo la funzione
$$
f(x,mx)=2(m^4+1)x^4+2-(m+1)^2x^2
$$
questa è una funzione di una variabile quindi la studiamo nell'origine, come sempre studiandone la derivata:
$$
f'(x,mx)=8(m^4+1)x^3-2(m+1)x
$$
ora studiamo quando $f>0$ come sempre ed otteniamo che la disuguaglianza ha come risultati
$$
x>0
\\
x<-\frac{|m+1|}{2\sqrt{m^4+1}} \vee x>\frac{|m+1|}{2\sqrt{m^4+1}}
$$
a questo punto c'è da stare attenti alla posizione delle espressioni ottenute in $m$ rispetto a zero prima di fare il prodotto dei segni, come si vede la prima è sempre negativa e la seconda è sempre positiva, quindi va tutto bene ad eccezione di un caso ovvero di $m=-1$ per il quale le due espressioni si annullano, ed è un caso che studieremo a parte dopo.
ora per $m\ne -1$ possiamo fare il prodotto dei segni ottenendo che lungo tali rette l'origine rappresenta un massimo.
Ora invece facciamo la sostituzione esplicita $y=-x$ per vedere cosa succede per $m=-1$ ,otteniamo la funzione
$$
f(x,-x)=4x^4+2
$$
Questo è paraboloide convesso di quarto grado quindi chiaramente ha un minimo nell'origine (ma se non sei convinto puoi fare i conti)
Quindi abbiamo trovato che lungo la retta $y=-x$ la funzione $f$ in zero ha un minimo, mentre lungo ad esempio la retta $y=x$ la funzione $f$ ha un massimo, quindi $(0,0)$ è un punto a sella.
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