Studio locale di funzioni in più variabili e inf/sup
Ciao a tutti! Volevo esporre il mio ragionamento su questo esercizio:
"Consideriamo la funzione $f(x,y)=arctan(xy)-xy+y^2x^6$
a)Dimostrare che l'origine è un punto stazionario e stabilire di cosa si tratta;
b)Trovare l'estremo inferiore/superiore di f al variare di $(x,y) in RR^2$;
Per quanto riguarda a), vedere che $(0,0)$ è stazionario è semplice(segue dallo sviluppo di Taylor della f). Per classificarlo però, il metodo con l'Hessiana in questo caso non fornisce alcuna informazione. Quindi ho pensato di continuare a sviluppare l'arctan ottenendo: $xy-1/3x^3y^3-xy+y^2x^6$, da cui prendendo le due restrizioni $(t,t)$ e $(t,-t)$, mi accorgo che l'origine non è un punto di max/min(da una parte "vedo" $-1/3t^6+..$(max) e dall'altra $1/3t^6+...$(min))
Per il secondo punto invece, per il sup considero la restrizione $(t,t)$ e facendo tendere $t$ all'infinito ottengo $f(t,t)$ che tende all'infinito(dunque sup=$+infty$)
Credevo di aver finito, ma mentre scrivevo questo post mi sono accorto che l'idea che avevo dell'inf è sbagliatissima(volevo considerare la restrizione $(sqrt(t),t)$ e far tendere a meno infinito t, ma è palesemente sbagliato
)
"Consideriamo la funzione $f(x,y)=arctan(xy)-xy+y^2x^6$
a)Dimostrare che l'origine è un punto stazionario e stabilire di cosa si tratta;
b)Trovare l'estremo inferiore/superiore di f al variare di $(x,y) in RR^2$;
Per quanto riguarda a), vedere che $(0,0)$ è stazionario è semplice(segue dallo sviluppo di Taylor della f). Per classificarlo però, il metodo con l'Hessiana in questo caso non fornisce alcuna informazione. Quindi ho pensato di continuare a sviluppare l'arctan ottenendo: $xy-1/3x^3y^3-xy+y^2x^6$, da cui prendendo le due restrizioni $(t,t)$ e $(t,-t)$, mi accorgo che l'origine non è un punto di max/min(da una parte "vedo" $-1/3t^6+..$(max) e dall'altra $1/3t^6+...$(min))
Per il secondo punto invece, per il sup considero la restrizione $(t,t)$ e facendo tendere $t$ all'infinito ottengo $f(t,t)$ che tende all'infinito(dunque sup=$+infty$)
Credevo di aver finito, ma mentre scrivevo questo post mi sono accorto che l'idea che avevo dell'inf è sbagliatissima(volevo considerare la restrizione $(sqrt(t),t)$ e far tendere a meno infinito t, ma è palesemente sbagliato
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Risposte
Forse ho trovato la restrizione giusta per l'inf: $(1/t,t^2)$. Sostituendo in f e facendo tendere $t$ a $+infty$ dovrei ottenere inf=$-infty$
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