Studio funzioni - tappe
Ciao a tutti.. devo risolve uno studio di funzioni, però per capire bene le tappe.. lo voglio postare poco alla volta.. per acpire bene in ogni passaggio, se e dove sbaglio..
Allora iniziamo.. la funzione è:
$f(x)=log((e^x -1)^2)$
PUNTO 1: Inseme di definizione
Allora io direi che l' unica cosa da dire sia:
$x>0$ perciò $D=(0,+oo)$
PUNTO 2: Studio del segno
Con $f(x)>0$ ,in $(0,+oo)$
Con $f(x)<0$ ,in vuoto
Con $f(x)=0$ ,in $(-oo,0)$ perchè $e^x$ è elevato alla seconda.. o anche cui è insieme vuoto??
Fin qui ttt giusto? Grazie mille
Allora iniziamo.. la funzione è:
$f(x)=log((e^x -1)^2)$
PUNTO 1: Inseme di definizione
Allora io direi che l' unica cosa da dire sia:
$x>0$ perciò $D=(0,+oo)$
PUNTO 2: Studio del segno
Con $f(x)>0$ ,in $(0,+oo)$
Con $f(x)<0$ ,in vuoto
Con $f(x)=0$ ,in $(-oo,0)$ perchè $e^x$ è elevato alla seconda.. o anche cui è insieme vuoto??
Fin qui ttt giusto? Grazie mille
Risposte
ah si giusto dunque la prima è da scartare!!!
EDIT: "la funzione logaritmica non è positivi se NON lo è il suo argomento". Era ciò che volevi dire!! Giusto?
EDIT: "la funzione logaritmica non è positivi se NON lo è il suo argomento". Era ciò che volevi dire!! Giusto?
No, ing@mate voleva sicuramente dire (*) che questo passaggio è sbagliatissimo:
____________
(*) @ing@mate: Però non ti sei espresso molto bene.
Riformulo io: "non è detto che la funzione logaritmica sia positiva se è positivo il suo argomento".
"paolotesla91":Perché? Disegna il grafico della funzione $log(t)$. Per quali $t$ questa funzione è positiva?
$log((e^x-1)^2)>0 <=> (e^x-1)^2>0$
____________
(*) @ing@mate: Però non ti sei espresso molto bene.
Riformulo io: "non è detto che la funzione logaritmica sia positiva se è positivo il suo argomento".
Grazie della giusta correzione dissonance! 
Ok.. ci sono.. giusto.. per $f(x)<0$ non capivo perchè veniva $(-oo,0)(0,log2)$ e non $(-oo,log2)$ non consideravo che in $0$ la funzione non è definita (dominio)!!!
PUNTO 3: Limiti
Qui non credo di avere grossi problemi.. vediamo:
$lim_(x->-oo)(log((e^x -1)^2) = (log((e^-oo -1)^2) = (log((0^+ -1)^2) =(log(1^-)) = 0^- $
$lim_(x->0^-)(log((e^x -1)^2) = (log((e^(0^-) -1)^2) = (log(1^- -1)^2) = (log(0^-)) = -oo $
$lim_(x->0^+) (log((e^x -1)^2) =(log((e^(0^+) -1))^2) =(log(1^+ -1)^2) = (log(0^+)) = -oo$
$lim_(x->+oo) (log((e^x -1)^2) =(log((e^+oo -1)^2) = (log((+oo -1)^2) = (log(+oo)) = +oo$
PUNTO 4: Asintoti
Allora per: $lim_(x->a)(fx)= +- oo$ quindi per $lim_(x->0)(fx)= -oo$ perciò $x=0$ (asintoto verticale)
Per: $lim_(x->+- oo)(fx)= b$ quindi per $lim_(x->-oo)(fx)= 0^-$ perciò $y=0$ (asintoto orizzontale)
Per: $lim_(x->+- oo)(fx)= +- oo$ quindi per $lim_(x->+oo)(fx)=+oo$ (asintoto obliquo)
Ecco sull'asintoto obliquo, se provo a calcolarlo mi viene che $m=0$, quindi in realtà non esiste.. ma la prof dice che cè..
un aiuto??
Per il resto è tutto corretto??
Qui non credo di avere grossi problemi.. vediamo:
$lim_(x->-oo)(log((e^x -1)^2) = (log((e^-oo -1)^2) = (log((0^+ -1)^2) =(log(1^-)) = 0^- $
$lim_(x->0^-)(log((e^x -1)^2) = (log((e^(0^-) -1)^2) = (log(1^- -1)^2) = (log(0^-)) = -oo $
$lim_(x->0^+) (log((e^x -1)^2) =(log((e^(0^+) -1))^2) =(log(1^+ -1)^2) = (log(0^+)) = -oo$
$lim_(x->+oo) (log((e^x -1)^2) =(log((e^+oo -1)^2) = (log((+oo -1)^2) = (log(+oo)) = +oo$
PUNTO 4: Asintoti
Allora per: $lim_(x->a)(fx)= +- oo$ quindi per $lim_(x->0)(fx)= -oo$ perciò $x=0$ (asintoto verticale)
Per: $lim_(x->+- oo)(fx)= b$ quindi per $lim_(x->-oo)(fx)= 0^-$ perciò $y=0$ (asintoto orizzontale)
Per: $lim_(x->+- oo)(fx)= +- oo$ quindi per $lim_(x->+oo)(fx)=+oo$ (asintoto obliquo)
Ecco sull'asintoto obliquo, se provo a calcolarlo mi viene che $m=0$, quindi in realtà non esiste.. ma la prof dice che cè..
un aiuto??
Per il resto è tutto corretto??
Ciao scusate, sto seguendo anch'io questo argomento che state portando avanti per capire come si fanno gli studi di funzione.....volevo chiedere una cosa dato che non riuscivo a fare lo studio del segno, io pensavo che si dovesse eseguire il quadrato di binomio facendo:
$ e^x^2 -e^x +1>0 $
poi avrei raccolto $e^x*(e^x - 1)>-1$; quindi pensavo di mettere solo $e^x>0$ perchè all'interno della parentesi se avessi un numero maggiore di 0, l'equazione risulterebbe $>-1$ come dice il testo, poi da li facevo:
$loge^x>log-1$
$x>log-1$
perchè non posso fare cosi?
$ e^x^2 -e^x +1>0 $
poi avrei raccolto $e^x*(e^x - 1)>-1$; quindi pensavo di mettere solo $e^x>0$ perchè all'interno della parentesi se avessi un numero maggiore di 0, l'equazione risulterebbe $>-1$ come dice il testo, poi da li facevo:
$loge^x>log-1$
$x>log-1$
perchè non posso fare cosi?
scusate dopo aver raccolto intendevo porre uguale >-1 non >1
oodio mio mi scuso ragazzi intendevo dire: $(e^x-1)^2>1$!! errore di battitura!!!
"mm1":
$loge^x>log-1$
$x>log-1$
perchè non posso fare cosi?
Ma cosa vuol dire questo??? [tex]$\log-1$[/tex] ??
Per quanto riguarda l'asintoto obliquo, facendo il limite:
[tex]$\lim_{x \to +\infty}\frac{\log(e^x - 1)^2}{x} = 2$[/tex]
..
perdonami angelo ma non ho capito bene come hai scomposto il limite!!
L'ho risolto con De L'Hopital, ma forse si poteva fare anche coi limiti notevoli.. 
ah si giusto grazie 
quindi sicocme il limite per calcolare q è uguale a zero abbiamo un asintoto obliquo di equazione $y=2x$
quindi sicocme il limite per calcolare q è uguale a zero abbiamo un asintoto obliquo di equazione $y=2x$
Ciao scusate sono ancora io(quello che ha chiesto come si facesse lo studio del segno)......io lo studio del segno l'ho fatto cosi:
$log((e^x-1)^2)>0$
$e^(log((e^x-1)^2)>e^0$
$(e^x-1)^2>e^0$
$e^(2*x) -2*e^x +1>e^0$
$e^x*(e^x -2)>e^0-1$
$e^x*(e^x -2)>0$
$e^x>2$
$log(e^x)>log(2)$
$x>log(2)$
volevo sapere se era giusto...però per fav non mi lasciate fuori dal discorso che devo muovermi a imparare ste cose.
Grazie
buonasera
$log((e^x-1)^2)>0$
$e^(log((e^x-1)^2)>e^0$
$(e^x-1)^2>e^0$
$e^(2*x) -2*e^x +1>e^0$
$e^x*(e^x -2)>e^0-1$
$e^x*(e^x -2)>0$
$e^x>2$
$log(e^x)>log(2)$
$x>log(2)$
volevo sapere se era giusto...però per fav non mi lasciate fuori dal discorso che devo muovermi a imparare ste cose.
Grazie
buonasera
ciao mm1, per lo studio del segno, perchè risolvi il binomio??
Tu hai: $log (e^x -1)^2$... per quale valore il l argomento del logaritmo risultato positivo?
Per $1$; quindi poni l'argomento del log > 1.. e risolvi!
Guarda a pag 2
Tu hai: $log (e^x -1)^2$... per quale valore il l argomento del logaritmo risultato positivo?
Per $1$; quindi poni l'argomento del log > 1.. e risolvi!
Guarda a pag 2
quindi ora manca la derivata!
Allora con De l'hopital proprio non mi viene; la nostra prof ha fatto in questo modo in un altro esercizio, ma non capisco alcuni passaggi... Li evidenzio...
$f(x)/(x) = log (e^x -1)^2 / (x)$
$=(log (e^x)^2 + log(1- 1/e^x)^2)/x$ come fa a scomporlo in questo modo?? E' una regola?
$= (log (e^2x) + log(1- 1/e^x)^2)/x$
$= (2x)/x + (log(1- 1/e^x)^2)/x$ perchè della prima parte rimane solo $2x$??
$= 2+ (log(1- 1/e^x)^2)/x$
Dove: $(log(1 - 1/(e^x))^2)/x -> 0^+$
Perciò $m=2$
Fatto ciò calcolo q:
$log(e^x -1)^2 -2x$
$= log(e^x)^2 + log(1- 1/(e^x))^2 -2x$ stessa cosa di prima
$= 2x + log(1- 1/(e^x))^2 -2x$ perchè rimane solo 2x?
$q=0$
$f(x)/(x) = log (e^x -1)^2 / (x)$
$=(log (e^x)^2 + log(1- 1/e^x)^2)/x$ come fa a scomporlo in questo modo?? E' una regola?
$= (log (e^2x) + log(1- 1/e^x)^2)/x$
$= (2x)/x + (log(1- 1/e^x)^2)/x$ perchè della prima parte rimane solo $2x$??
$= 2+ (log(1- 1/e^x)^2)/x$
Dove: $(log(1 - 1/(e^x))^2)/x -> 0^+$
Perciò $m=2$
Fatto ciò calcolo q:
$log(e^x -1)^2 -2x$
$= log(e^x)^2 + log(1- 1/(e^x))^2 -2x$ stessa cosa di prima
$= 2x + log(1- 1/(e^x))^2 -2x$ perchè rimane solo 2x?
$q=0$
allora jade t spiego:
$(log((e^x-1)^2)/x=(log((e^x(1-1/e^x))^2)/x$
dopodichè ha fatto riferimento alla proprietà dei logaritmi ke dice:
$log(a*b)=loga + logb$ niente di trascendentale...
poi all'altro passaggio ha semplicemente fatto: $(log(e^(2x))+log((1-1/e^x)^2))/x= (2xloge+log....$)/x
comprendi??
Sono cose abbastanza elementari!!
$(log((e^x-1)^2)/x=(log((e^x(1-1/e^x))^2)/x$
dopodichè ha fatto riferimento alla proprietà dei logaritmi ke dice:
$log(a*b)=loga + logb$ niente di trascendentale...
poi all'altro passaggio ha semplicemente fatto: $(log(e^(2x))+log((1-1/e^x)^2))/x= (2xloge+log....$)/x
comprendi??
Sono cose abbastanza elementari!!
Andiamo avanti..
PUNTO 5: Derivata prima
$f'(x)= (1/(e^x -1)^2) * 2(e^x -1) * e^x$
$=(2e^x (e^x -1))/(e^x -1)^2$
$= 2e^x / (e^x -1)$
PUNTO 6: Dominio f'(x)
Num: tutto R
Den: $x !=0$
Perciò: $D=(-oo,0)(0,+oo)$
PUNTO 7: Studio del segno f'(x)
Num: tutto R
Den: $x>0$
Perciò:
$f(x)>0$ ,in $(0,+oo)$ E' CRESCENTE
$f(x)=0$ ,in insieme vuoto
$f(x)<0$ ,in $(-oo, 0)$ E' DECRESCENTE
tutto giusto??
PUNTO 5: Derivata prima
$f'(x)= (1/(e^x -1)^2) * 2(e^x -1) * e^x$
$=(2e^x (e^x -1))/(e^x -1)^2$
$= 2e^x / (e^x -1)$
PUNTO 6: Dominio f'(x)
Num: tutto R
Den: $x !=0$
Perciò: $D=(-oo,0)(0,+oo)$
PUNTO 7: Studio del segno f'(x)
Num: tutto R
Den: $x>0$
Perciò:
$f(x)>0$ ,in $(0,+oo)$ E' CRESCENTE
$f(x)=0$ ,in insieme vuoto
$f(x)<0$ ,in $(-oo, 0)$ E' DECRESCENTE
tutto giusto??
si tutto giusto ma non mi hai detto se hai capito il precedente!
Scusa, stavo scrivendo e ho visto solo ora..
Cmq il primo passaggio:
Non capivo perchè: $(e^x -1)$ diventa $(e^x)*(1-(1/e^x))$ è una regola quindi?
Per il secondo:
$log(e^2x) = 2xlog(e)$ e fin qui ok..
ma perchè $log(e)$ se ne va e rimane solo $2x$
Cmq il primo passaggio:
Non capivo perchè: $(e^x -1)$ diventa $(e^x)*(1-(1/e^x))$ è una regola quindi?
Per il secondo:
$log(e^2x) = 2xlog(e)$ e fin qui ok..
ma perchè $log(e)$ se ne va e rimane solo $2x$
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