Studio funzione
Ciao,
stavo studiando la funzione
\(\displaystyle y= x log(1+1/x) \)
e sono finita in una trappola, qualcuno mi aiuta a trovare la strada giusta?
In particolare, ho problemi nello studio della derivata prima. Questa mi viene
\(\displaystyle y' = log(1+1/x) - 1/(1+x) \). L'ho posta > 0 trovando \(\displaystyle log(1+1/x) > 1/(1+x) \), da cui \(\displaystyle 1+1/x > e^{1/(1+x)}\). Ho poi provato a risolvere la disequazione graficamente e trovo che per \(\displaystyle x>0 \) l'iperbole sta sopra l'esponenziale e quindi la funzione di partenza e' crescente, mentre per \(\displaystyle x< 0 \) mi verrebbe il contrario e cioe' che l'iperbole sta sotto all'eponenziale perche' l'eponenziale dovrebbe avvicinarsi piu' rapidamente agli asintoti... E non mi torna piu' con la curva che mi aspettavo e cioe' che la funzione fosse crescente anche per i valori \(\displaystyle <-1 \)..
Dove sbaglio? Qualcuno mi puo' aiutare? Grazie!!!
stavo studiando la funzione
\(\displaystyle y= x log(1+1/x) \)
e sono finita in una trappola, qualcuno mi aiuta a trovare la strada giusta?
In particolare, ho problemi nello studio della derivata prima. Questa mi viene
\(\displaystyle y' = log(1+1/x) - 1/(1+x) \). L'ho posta > 0 trovando \(\displaystyle log(1+1/x) > 1/(1+x) \), da cui \(\displaystyle 1+1/x > e^{1/(1+x)}\). Ho poi provato a risolvere la disequazione graficamente e trovo che per \(\displaystyle x>0 \) l'iperbole sta sopra l'esponenziale e quindi la funzione di partenza e' crescente, mentre per \(\displaystyle x< 0 \) mi verrebbe il contrario e cioe' che l'iperbole sta sotto all'eponenziale perche' l'eponenziale dovrebbe avvicinarsi piu' rapidamente agli asintoti... E non mi torna piu' con la curva che mi aspettavo e cioe' che la funzione fosse crescente anche per i valori \(\displaystyle <-1 \)..
Dove sbaglio? Qualcuno mi puo' aiutare? Grazie!!!
Risposte
Ciao Elena,
ho cominciato a studiare la tua funzione (la derivata prima mi è venuta uguale).
Mi confermi che il campo di esistenza è $x<-1 cup x>0$?
ho cominciato a studiare la tua funzione (la derivata prima mi è venuta uguale).
Mi confermi che il campo di esistenza è $x<-1 cup x>0$?
Confermo! 
Hai idea di come studiare la derivata prima? Grazie!
Hai idea di come studiare la derivata prima? Grazie!
Ciao Elena,
Ti sei già fatta qualche idea sull'andamento della nostra funzione?
come si comporta agli estremi del dominio?
è sempre positiva, sempre negativa...?
Incontrerà mai l'asse x?
Ti sei già fatta qualche idea sull'andamento della nostra funzione?
come si comporta agli estremi del dominio?
è sempre positiva, sempre negativa...?
Incontrerà mai l'asse x?
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1^+\)
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = +\infty\)
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow 0^+ } f(x) = 0^+\)
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = 1^-\)
Inoltre la funzione assume sempre valori positivi.
Studiando anche la concavita' trovo che questa e' verso l'alto per \(\displaystyle x<-1 \) e verso il basso per \(\displaystyle x>0 \). Non ci sono cambiamenti di concavita' in altri punti.
Io mi aspetto una funzione crescente sempre... Pero' non riesco a collegare questo con lo studio del segno di \(\displaystyle y' \)...........
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = +\infty\)
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow 0^+ } f(x) = 0^+\)
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = 1^-\)
Inoltre la funzione assume sempre valori positivi.
Studiando anche la concavita' trovo che questa e' verso l'alto per \(\displaystyle x<-1 \) e verso il basso per \(\displaystyle x>0 \). Non ci sono cambiamenti di concavita' in altri punti.
Io mi aspetto una funzione crescente sempre... Pero' non riesco a collegare questo con lo studio del segno di \(\displaystyle y' \)...........
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