Studio funzione

[vanni8910]

Data l'equazione :

2log(x) + x^100 + 2x^(4) + x^2 + 4 = 0

come faccio a dire se esiste una soluzione e se la stessa è unica ??

[Brancaleone1]

$2log(x) + x^100 + 2x^4 + x^2 + 4 = 0$

Beh intanto potresti cominciare domandandoti dove effettivamente è possibile trovare la/e soluzione/i nel campo $RR$.

Vedila così:

$x^100 + 2x^4 + x^2 = -2(2+ln(x))$

cosa puoi notare? Puoi restringere il tuo studio all'interno di un intervallo $A subset RR$?
Se sì qual è?

[vanni8910]

−2(2+ln(x)) ?

[vanni8910]

nn riesco ad arrivarci, x100 mi manda i crisi!

[Brancaleone1]

"vanni8910":−2(2+ln(x)) ?

...Questo è il membro di destra dell'equazione... se non dici cosa vuoi/puoi farne non andiamo molto lontano...

PS: metti all'inizio e alla fine delle formule il simbolo $$$, così possiamo visualizzarle correttamente.

[vanni8910]

ok ma se avessi saputo risolverla non avrei chiesto aiuto su questo forum , non credi?
Cerca di darmi almeno qualche altra dritta per poter procedere..

[Brancaleone1]

$x^100 + 2x^4 + x^2 = -2(2+ln(x))$

...osserva il membro di sinistra: che particolarità presenta? Cioé cosa ha che ti fa capire che la/e soluzione/i (se ci sono) devono per forza essere contenute in un intervallo ben definito, visto che a destra $-oo < ln(x) < +oo$?

[vanni8910]

intervallo x>0 poichè c'è il log

[Brancaleone1]

Sì, questo è il dominio della funzione $2 ln(x)+x^100 + 2x^4 + x^2 -4$, ma non è questo che intendevo
Tu hai un'equazione, devi cioè studiare quando si verifica la condizione $f(x)=0$.

Vedi bene che le potenze dei termini a sinistra sono tutte pari: lasciando perdere per un attimo il membro di destra, di per sé cosa comporta?

[vanni8910]

posso mettere in evidenza $ x^2

se n è pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se −2(2+ln(x)) <0 ?

[vanni8910]

se n è pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se −2(2+ln(x)) <0 ?

[vanni8910]

se n è pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se −2(2+ln(x)) <0 ?

[Brancaleone1]

"vanni8910":posso mettere in evidenza $ x^2

se n è pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se −2(2+ln(x)) <0 ?

Ci siamo quasi.
Poiché le potenze sono pari, il membro di sinistra è $>=0$, e dato che questa è un'equazione, la stessa condizione va imposta anche al membro di destra, cioé

$-2(2+ln(x))>=0$

e quindi studiando questa disequazione scopriamo che le soluzioni, se esistono, si trovano nell'intervallo...

[vanni8910]

ln(x) >= -2 ?

[vanni8910]

ln(x) <= -2 , quindi non ammette soluzioni?

[Brancaleone1]

"vanni8910":ln(x) <= -2 , quindi non ammette soluzioni?

No!

$-2(2+ln(x))>=0 =>2+ln(x)<=0=>ln(x)<=-2=>0
che è l'intervallo da considerare: se la funzione originale si annulla, lo fa in $(0,e^(-2)]$

Poiché conosciamo anche il dominio, il prossimo passo è capire come la funzione si comporta nell'intorno di $0$ per confrontarla poi con lo studio della derivata prima: cosa accade per $x->0^+$ alla funzione e come si comporta la derivata prima nell'intervallo trovato?