Studio di una funzione
[tex]\frac{|x^2-x|}{e^x}[/tex]
Mi si chiede di studiare:
1) Dominio asintoti ed immagine.
2) Derivabilità.
3) La monotonia e tracciare un grafico approssimativo.
Allora procediamo con calma perchè ancora sono in mezzo a una strada
1) Il dominio è R
Ho considerato la funzione come:
[tex]f(x)=\frac{x^2-x}{e^x}[/tex] x>=0
[tex]\frac{-x^2+x}{e^x}[/tex] x<0
Poi ho detto che non ci sono asintoti verticali.
Cerco gli obliqui e dopo i calcoli ottengo che in generale:
[tex]\lim_{xn \to \infty }\frac{|x^2-x|}{xe^x}=0[/tex] distinguendo i casi x>0 o x<0 (P.S. il limite si calcoli sia per + che - infinito?)
Quindi non ci sono asintoti obliqui, cercando gli orizzontali ottengo come risultato del limite che la retta [tex]y=0[/tex] è un asintoto orizzontale.
Passo alle derivate.
(Come la calcolo dato che è in valore assoluto)?
Ho pensato di calcolarla per x=0, perchè in ogni caso sarà simmetrica la funzione.
[tex]\frac{(2x-1)(e^x)-(x^2-x)(e^x)}{e^x^{2}}[/tex]
Posso mettere in evidenza?
[tex]\frac{e^x(2x-1-x^2+x)}{e^{x}^{2}}[/tex]
[tex]\frac{e^x(-x^2+3x-1)}{e^{x}^{2}}[/tex]
Ho pensato visto che "e" è una quantità positiva posso vedere quando è positiva la funzione all'interno delle tonde per dire che la derivata sarà positiva.
La disequazione è verificata per [tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Quindi in teoria in quell'intervallo la funzione è positiva.
Problema, per determinare i punti esatti dovrei sostituirli nella mia funzione, solo che non mi sembra facile calcolarli, come fare?
Mi si chiede di studiare:
1) Dominio asintoti ed immagine.
2) Derivabilità.
3) La monotonia e tracciare un grafico approssimativo.
Allora procediamo con calma perchè ancora sono in mezzo a una strada
1) Il dominio è R
Ho considerato la funzione come:
[tex]f(x)=\frac{x^2-x}{e^x}[/tex] x>=0
[tex]\frac{-x^2+x}{e^x}[/tex] x<0
Poi ho detto che non ci sono asintoti verticali.
Cerco gli obliqui e dopo i calcoli ottengo che in generale:
[tex]\lim_{xn \to \infty }\frac{|x^2-x|}{xe^x}=0[/tex] distinguendo i casi x>0 o x<0 (P.S. il limite si calcoli sia per + che - infinito?)
Quindi non ci sono asintoti obliqui, cercando gli orizzontali ottengo come risultato del limite che la retta [tex]y=0[/tex] è un asintoto orizzontale.
Passo alle derivate.
(Come la calcolo dato che è in valore assoluto)?
Ho pensato di calcolarla per x=0, perchè in ogni caso sarà simmetrica la funzione.
[tex]\frac{(2x-1)(e^x)-(x^2-x)(e^x)}{e^x^{2}}[/tex]
Posso mettere in evidenza?
[tex]\frac{e^x(2x-1-x^2+x)}{e^{x}^{2}}[/tex]
[tex]\frac{e^x(-x^2+3x-1)}{e^{x}^{2}}[/tex]
Ho pensato visto che "e" è una quantità positiva posso vedere quando è positiva la funzione all'interno delle tonde per dire che la derivata sarà positiva.
La disequazione è verificata per [tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Quindi in teoria in quell'intervallo la funzione è positiva.
Problema, per determinare i punti esatti dovrei sostituirli nella mia funzione, solo che non mi sembra facile calcolarli, come fare?
Risposte
per quanto riguarda la derivata con il valore assoluto, puoi studiare i cui casi separati. Cioè, prendi il modulo positivo e ne studi la derivata, poi prendi il modulo negativo e ne studi la derivata..
ah...e per quanto riguarda per dire il caso di x>0 la derivata che ho calcolato è giusta? come faccio a capire dov'è positiva?
Non se se il mio ragionamento fatto prima è corretto, ma non saprei come studiarla...cioè risolvendo altre disequaizoni...
Non se se il mio ragionamento fatto prima è corretto, ma non saprei come studiarla...cioè risolvendo altre disequaizoni...
Guitarplaying, vorrei ricordarti che il polinomio [tex]$x^2-x$[/tex] ha due radici reali...
Ma non è posibile all'interno della parentesi tonda scrivere:
[tex]2x-1-x^2+x[/tex]
come [tex]-x^2+3x-1[/tex] ?
L'avevo scritto così, è errato?
Cioè
[tex]\frac{e^x(2x-1-x^2+x)}{e^{x}^{2}}[/tex]
[tex]\frac{e^x(-x^2+3x-1)}{e^{x}^{2}}[/tex]
[tex]2x-1-x^2+x[/tex]
come [tex]-x^2+3x-1[/tex] ?
L'avevo scritto così, è errato?
Cioè
[tex]\frac{e^x(2x-1-x^2+x)}{e^{x}^{2}}[/tex]
[tex]\frac{e^x(-x^2+3x-1)}{e^{x}^{2}}[/tex]
si puoi farlo.
Quello che intendeva Gugo è che: $x^2 - x$, non è positivo per $x > 0$, perchè ha 2 radici reali che devi calcolarti. Agli esterin di questi 2 punti sarà positiva, e viceversa al' interno.. (la solita parabola..)
Quello che intendeva Gugo è che: $x^2 - x$, non è positivo per $x > 0$, perchè ha 2 radici reali che devi calcolarti. Agli esterin di questi 2 punti sarà positiva, e viceversa al' interno.. (la solita parabola..)
In questo caso, io avevo pensato di studiarne il segno, proprio dell'ultima che ho scritto, e se non sbaglio, il derive dice che è corretto è verificata per.
[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Quindi sarà positiva all'interno di questo intervallo e negativa altrove, scusate ma non ho capito perchè valutare [tex]x^2-x[/tex]
Comunque, adesos che dovrei fare, la derivata per x<0 visto che era in valore assoluto?
Ma perchè se tanto è simmetrica?
E poi dovrei sostituire alla funzione al posto della x queie due punti per ottenere i punti estremanti?
Sono un pò confuso....si deve fare per forza così vero?
[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Quindi sarà positiva all'interno di questo intervallo e negativa altrove, scusate ma non ho capito perchè valutare [tex]x^2-x[/tex]
Comunque, adesos che dovrei fare, la derivata per x<0 visto che era in valore assoluto?
Ma perchè se tanto è simmetrica?
E poi dovrei sostituire alla funzione al posto della x queie due punti per ottenere i punti estremanti?
Sono un pò confuso....si deve fare per forza così vero?
Cominciamo a sistemare la definizione per casi: è essenziale che tu mi risolva $x^2-x>0$.
x<0 oppure x>1........
Benissimo, quindi ti accorgi già che la funzione come l'hai considerata tu nel primo post va corretta.
Una volta che hai riscritto la funzione per casi correttamente fai la derivata dei singoli casi, e poi fai il limite della derivata quando $x$ tende ai valori in cui i casi si alternano, ossia $x=0$ ed $x=1$.
Una volta che hai riscritto la funzione per casi correttamente fai la derivata dei singoli casi, e poi fai il limite della derivata quando $x$ tende ai valori in cui i casi si alternano, ossia $x=0$ ed $x=1$.
Aspetta, ma io intendevo che essendoci il valore assoluto considero la funzione per x>0 e x<0, quindi dovrebbe valere come ho scritto nel primo post, considerando l'intera frazione, non solo il numeratore, perchè studiamo solo il numeratore?
io devo sempre riscrivere l'intera funzione....
io devo sempre riscrivere l'intera funzione....
Ti ricordo che, per eliminare il valore assoluto, devi risolvere questa disequazione: [tex]$x^2-x\geq 0$[/tex].
Sì, ma i casi che tu distingui dipendono dal modulo. La funzione modulo è definita come $|x|={(x " per " x>=0),(-x " per " x<0):}$ e questo significa che quando riscrivi la funzione per casi la riscrivi distinguendo quando devi cambiare il segno dell'argomento del modulo e quando no, ossia quando l'argomento del modulo è positivo e quando è negativo, e questi casi sono le soluzioni della disequazione che io e gugo ti abbiamo suggerito.
Mh....si ma io sapevo semplicemente che si riscrive la stessa funzione per x positivo togliendo il valore assoluto, altrimenti |x| vale -x, ma riscrivo sempre la stessa funzione con i sengni della x cambiati, quindi scusate, ma non capisco come continuare con quello che dite voi...come dovrei scrivere e continuare?
Almeno qualche cosa per capire su quali funzioni lavorare.
Almeno qualche cosa per capire su quali funzioni lavorare.
Visto che [tex]$x^2-x\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x\leq 0 \text{ oppure } x\geq 1$[/tex] la tua [tex]$f$[/tex] si scrive:
[tex]$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-x}{e^x} &\text{, se $x\leq 0$ oppure $x\geq 1$} \\ \frac{x-x^2}{e^x} &\text{, se $0\leq x\leq 1$}\end{cases}$[/tex]...
[tex]$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-x}{e^x} &\text{, se $x\leq 0$ oppure $x\geq 1$} \\ \frac{x-x^2}{e^x} &\text{, se $0\leq x\leq 1$}\end{cases}$[/tex]...
No hai ragione, sono io che sono.....vabbè non diciamo parolacce...^^
Si io facevo l'errore di usare la definizione con |x|, ma invece devo ovviamente considerarlo tutto |x^2-x| quindi si, comunque.....ora vedrò se riesco a continuare con qualcos'altro, a limite, ci sentiamo domani perchè non so cosa riuscirò a fare...
Grazie.
Si io facevo l'errore di usare la definizione con |x|, ma invece devo ovviamente considerarlo tutto |x^2-x| quindi si, comunque.....ora vedrò se riesco a continuare con qualcos'altro, a limite, ci sentiamo domani perchè non so cosa riuscirò a fare...
Grazie.
Mi permetto di puntualizzare un'imprecisione di Gugo: nella scrittura per casi, i valori 0 e 1 devono essere inclusi (i.e. devono essere scritti con l'uguale) solo in uno dei due casi, a piacere ovviamente.
Si ok, allora tornando al discorso di prima, io ho calcolato per x>0 la derivata che dovrebbe essere:
[tex]\frac{(e^x)(2x-1-x^2+x)}{e^x^2}[/tex]
E studiandola trovo che la derivata è maggiore di 0 per [tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
e negativa altrove. Spero sia giusto.
Così ho anche individuato la monotonia, ora rimangono i punti estremanti, per calcolarli devo necessariamente sostituire quei valori alla x nella mia funzione?
Ieri ho provato a farlo, ora ci ritento, intanto potreste dirmi a voi quanto vengono i punti estremanti così dopo verifico?
[tex]\frac{(e^x)(2x-1-x^2+x)}{e^x^2}[/tex]
E studiandola trovo che la derivata è maggiore di 0 per [tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
e negativa altrove. Spero sia giusto.
Così ho anche individuato la monotonia, ora rimangono i punti estremanti, per calcolarli devo necessariamente sostituire quei valori alla x nella mia funzione?
Ieri ho provato a farlo, ora ci ritento, intanto potreste dirmi a voi quanto vengono i punti estremanti così dopo verifico?
"Raptorista":
Mi permetto di puntualizzare un'imprecisione di Gugo: nella scrittura per casi, i valori 0 e 1 devono essere inclusi (i.e. devono essere scritti con l'uguale) solo in uno dei due casi, a piacere ovviamente.
Sì, va be', tanto il modulo è continuo...
Ma per quanto riguarda i punti estremanti?
Io ho provato a sostituire i punti, ma non mi quadrano tanto le cose.
avrei un punto A(0.4, -0.24) e B(2.6; 0.7)
Io ho provato a sostituire i punti, ma non mi quadrano tanto le cose.
avrei un punto A(0.4, -0.24) e B(2.6; 0.7)
Mi seriverebbero anceh per studiare il grafico.
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