Studio di massimo e minimo
Ho problema con la risoluzione di tale esercizio:
determinare il valore di massimo e minimo (se esistono) della seguente funzione nella regione COMUNE al dominio e al poligono di vertici
$A=(0; -1)$ , $B=(1;-1)$, $C=(1;1)$ , $D=(1;0)$
f(x,y)= $xy+ sqrt(y)2^(x)$
allora il poligono rappresenta solamente un triangolo. Per quanto riguarda il dominio credo ke valga per $y>0$
=> la parte comune da considerare e la porzione del triangolo dove l'ordinata risulta positiva.
il problema è come calcolare il massimo e minimo di tale funzione. Devo considerare l'Hessiano?
determinare il valore di massimo e minimo (se esistono) della seguente funzione nella regione COMUNE al dominio e al poligono di vertici
$A=(0; -1)$ , $B=(1;-1)$, $C=(1;1)$ , $D=(1;0)$
f(x,y)= $xy+ sqrt(y)2^(x)$
allora il poligono rappresenta solamente un triangolo. Per quanto riguarda il dominio credo ke valga per $y>0$
=> la parte comune da considerare e la porzione del triangolo dove l'ordinata risulta positiva.
il problema è come calcolare il massimo e minimo di tale funzione. Devo considerare l'Hessiano?
Risposte
Massimi e minimi vincolati.... moltiplicatori di Lagrange... ti dicono niente?
Non l'ho mai applicato!!
quindi dai punti del poligono devo determinare le equazioni del vincolo? mi potresti dare qualche input in più? grazie mille!!
quindi dai punti del poligono devo determinare le equazioni del vincolo? mi potresti dare qualche input in più? grazie mille!!
sei certo che non sia $D(0,1)$?
come hai scritto tu, quale sarebbe il poligono?
invece, lasciando A,B,C come dici tu e modificando D, in tal caso il poligono è un rettangolo con i lati paralleli agli assi, per cui sul perimetro le quattro funzioni hanno una variabile costante ...
come hai scritto tu, quale sarebbe il poligono?
invece, lasciando A,B,C come dici tu e modificando D, in tal caso il poligono è un rettangolo con i lati paralleli agli assi, per cui sul perimetro le quattro funzioni hanno una variabile costante ...
nella prova di esamne ho $D(1;0)$
Mi potresti aiutare?
Mi potresti aiutare?
così non è chiaro quale sia il poligono: prova a prendere i punti nel piano cartesiano e disegna i quattro lati AB,BC,CD,DA.
io ottengo un triangolo isoscele rettangolo ABD ed un segmento CD: così $D in BC$.
a parte D, hai controllato anche gli altri punti? non può essere un errore del testo?
fammi sapere.
comunque, nell'ipotesi che la mia supposizione sia vera, ti anticipo (visto che sto per uscire) che verrebbe, sui quattro lati (sostituendo il valore della costante):
su AB, $f(x,y)=f(x,-1)$ la funzione non esiste perché $y>=0$. bisogna sostituire il lato di estremi $O(0,0)$ e $P(1,0)$ coerentemente con il dominio (il tuo rettangolo, intersecato con il dominio, diventa il quadrato OPCD, con D(0,1):
su OP, $f(x,y)=f(x,0)= 0$
su BC, o meglio su PC, $f(x,y)=f(1,y)= y+2sqrty$
su CD, $f(x,y)=f(x,1)= x+2^x$
su DA, o meglio su DO, $f(x,y)=f(0,y)= sqrty$
se invece il testo fosse esatto, l'intersezione tra lo strano poligono ABCD e il dominio sarebbe solo il segmento PC (definito precedentemente).
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
io ottengo un triangolo isoscele rettangolo ABD ed un segmento CD: così $D in BC$.
a parte D, hai controllato anche gli altri punti? non può essere un errore del testo?
fammi sapere.
comunque, nell'ipotesi che la mia supposizione sia vera, ti anticipo (visto che sto per uscire) che verrebbe, sui quattro lati (sostituendo il valore della costante):
su AB, $f(x,y)=f(x,-1)$ la funzione non esiste perché $y>=0$. bisogna sostituire il lato di estremi $O(0,0)$ e $P(1,0)$ coerentemente con il dominio (il tuo rettangolo, intersecato con il dominio, diventa il quadrato OPCD, con D(0,1):
su OP, $f(x,y)=f(x,0)= 0$
su BC, o meglio su PC, $f(x,y)=f(1,y)= y+2sqrty$
su CD, $f(x,y)=f(x,1)= x+2^x$
su DA, o meglio su DO, $f(x,y)=f(0,y)= sqrty$
se invece il testo fosse esatto, l'intersezione tra lo strano poligono ABCD e il dominio sarebbe solo il segmento PC (definito precedentemente).
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
Ho controllato e ricontrollato...il testo dell'esercizio è questo....ho anke altre prove in cui ad esempio dati 4 punti del poligono, 2 coincidono.
Comunque volevo chiederti dai passaggi di prima come fai a determinare P?
e poi dato per certo ke $D=(1;0)$, perchè l'intersezione tra il poligono e il dominio è dato solo dal segmento $PC$??
Comunque volevo chiederti dai passaggi di prima come fai a determinare P?
e poi dato per certo ke $D=(1;0)$, perchè l'intersezione tra il poligono e il dominio è dato solo dal segmento $PC$??
e poi se abbiamo $D=(1;0)$ non otteniamo graficamente un triangolo isoscele??
hai un triangolo isoscele rettangolo nel semipiano $y<=0$ e un segmento nel semipiano $y>=0$.
ma hai nella funzione $sqrty$, per cui non puoi considerare la parte al di sotto dell'asse $x$.
dei quattro punti che hai scritto, C è l'unico con ordinata positiva.
ti torna?
ma hai nella funzione $sqrty$, per cui non puoi considerare la parte al di sotto dell'asse $x$.
dei quattro punti che hai scritto, C è l'unico con ordinata positiva.
ti torna?
Quindi come posso scriverlo matematicamente?
io ci provo:
per il tratto $CD$, poichè varia solo l'ordinata: $f(1;y)=y+sqrt(y)>0$ => Max ?
e per il tratto$PC$, dove $P=(1;0)$ come scrivo la funzione?
mentre per il tratto $AB$ e $DB$ la funzione non esiste giacchè l'ordinata risulta negativa (mentre il dominio della funzione ammette solo ordinata positiva)
io ci provo:
per il tratto $CD$, poichè varia solo l'ordinata: $f(1;y)=y+sqrt(y)>0$ => Max ?
e per il tratto$PC$, dove $P=(1;0)$ come scrivo la funzione?
mentre per il tratto $AB$ e $DB$ la funzione non esiste giacchè l'ordinata risulta negativa (mentre il dominio della funzione ammette solo ordinata positiva)
ma non te li avevo scritti su? la funzione è sempre quella, anche se rimangono solo i tratti OP e PC.
si infatti, ma non sapevo valutare f nel tratto $PC$.
E poi come valuto se è un punto di max o minimo?
Ti ringrazio per l'enorme aiuto che già mi hai concesso!
E poi come valuto se è un punto di max o minimo?
Ti ringrazio per l'enorme aiuto che già mi hai concesso!
prego!
riprendo dal mio vecchio post:
su BC, o meglio su PC, $f(x,y)=f(1,y)= y+2sqrty$
tu hai la retta $x=1$ che ti permette di trasformare la funzione ad una sola variabile. le coordinate di P e C ti dicono solamente se gli eventuali max e min che trovi sono all'interno del segmento PC. però non mi pare che la derivata prima si annulli ...
su OP, la funzione è identicamente nulla, per cui ti trovi anche il valore che assume nel punto C ed hai fatto.
riprendo dal mio vecchio post:
su BC, o meglio su PC, $f(x,y)=f(1,y)= y+2sqrty$
tu hai la retta $x=1$ che ti permette di trasformare la funzione ad una sola variabile. le coordinate di P e C ti dicono solamente se gli eventuali max e min che trovi sono all'interno del segmento PC. però non mi pare che la derivata prima si annulli ...
su OP, la funzione è identicamente nulla, per cui ti trovi anche il valore che assume nel punto C ed hai fatto.
ecco perchè non ci capivamo. il tratto $BC$ lo avevo capito...il problem è il tratto , chiamamolo, $AC$!!! Come valuto per questo tratto la $f$??
e poi un' altra cosa, quando calcolo, quindi sul tratto $BC$ la $f(1,y)= y+sqrt(y)$
devo fare la derivata prima (ovviamente rispetto a y)??
ovvero $(df)/dy=1+1/(2sqrt(y))=0$
quindi ho un punto di min/max!!
e poi un' altra cosa, quando calcolo, quindi sul tratto $BC$ la $f(1,y)= y+sqrt(y)$
devo fare la derivata prima (ovviamente rispetto a y)??
ovvero $(df)/dy=1+1/(2sqrt(y))=0$
quindi ho un punto di min/max!!
accipicchia, ma allora tu stai esaminando il triangolo ABC, altrimenti non ti cureresti di AC. ma allora il punto D che cosa ci sta a fare?
e comunque, nella funzione non c'era anche $2^x$? che fine ha fatto il nostro 2?
anche senza il 2, quale sarebbe il punto di max o min?
e comunque, nella funzione non c'era anche $2^x$? che fine ha fatto il nostro 2?
anche senza il 2, quale sarebbe il punto di max o min?
ihai ragione devo considerare anke il 2. ma comunque dopo aver valutato il tratto verticale $CD$, non devo considerare anche una parte del tratto $AC$, visto ke devo valutare solo il semipiano positivo delle $y$?
il problema è che quando si parla di un generico quadrilatero ABCD, i lati sono AB,BC,CD e DA, mentre AC è una diagonale ... da qui la perplessità sul testo e sulla figura risultante.
allora possiamo concludere che è un esercizio strano. ok.
quindi per concludere la discussione, come faccio a valutare se ho un punto di minimo o di max?
ad es. consideriamo la $f$ nel tratto $BC$, da lei opportunamente calcolata qualche post precedente. Qual è il passaggio successivo?
quindi per concludere la discussione, come faccio a valutare se ho un punto di minimo o di max?
ad es. consideriamo la $f$ nel tratto $BC$, da lei opportunamente calcolata qualche post precedente. Qual è il passaggio successivo?
e ora noto che l'esercizio mi chiede di scrivere l'equazione della curva di livello 2 e 3. o_O'
mamma mia, non mi sono collegata per 2 giorni e questa discussione è finita a pagina 5... neanche me la ricordavo più...
se non ricordo male, nel tratto comune al "quadrilatero" e al dominio, la derivata non si annulla mai, quindi gli eventuali massimi e minimi, data la continuità, sono agli estremi (punti P e C).
non ho capito se la conoscenza del seguito dell'esercizio ti abbia dato indicazioni anche su eventuali correzioni nel testo...
se non ricordo male, nel tratto comune al "quadrilatero" e al dominio, la derivata non si annulla mai, quindi gli eventuali massimi e minimi, data la continuità, sono agli estremi (punti P e C).
non ho capito se la conoscenza del seguito dell'esercizio ti abbia dato indicazioni anche su eventuali correzioni nel testo...
gli esercizi sono simili, e il quadrilatero è sempre anomalo. Quindi non credo che il testo sia sbagliato...
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