Studio di funzioni con valore assoluto

[Lokad]

Allora ragazzi mi servono un paio di delucidazioni sugli studi di funzione con valore assoluto, in pratica ho diversi dubbi per esempio:
la funzione si "spezza" in due per x>0 e x<0, ottenute le due funzioni le metto a sistema e verifico i domini "in comune" delle due funzioni e lo considero come dominio per tutto f(x) no?
Altre due (si fa per dire ) domande, se trovo dal dominio trovo un punto di discontinuità per esempio -1, quando vado a fare il limite lo devo fare solo per la funzione x<0 o per tutte e due?
Ultima domanda, per i punti di non derivabilità, io vado a calcolare il dominio della funzione derivata e anche in questo caso la funzione causa valore assoluto si divide in due parti. Il dominio anche in questo caso sarà quello in "comune" fra le due funzioni? Quando devo verificare la natura dei punti di non derivabilità, il limite lo devo vedere per entrambe le funzioni o dipende dal valore del punto? Ultimissima domanda: nel caso del valore assoluto uno dei punti di non derivabilità è sempre 0?

Scusate la raffica di domande, ma mi son sorti diversi dubbi e lunedì ho l'esame

[leena1]

"Lokad":Allora ragazzi mi servono un paio di delucidazioni sugli studi di funzione con valore assoluto, in pratica ho diversi dubbi per esempio:
la funzione si "spezza" in due per x>0 e x<0, ottenute le due funzioni le metto a sistema e verifico i domini "in comune" delle due funzioni e lo considero come dominio per tutto f(x) no?

Non è detto che la funzione si spezzi in due in 0...
Dipende dal valore assoluto.

Es: $f(x)=x+|x-3|$
La funzione si studia nei due pezzi: $x>=3$ e $x<3$

Ricorda:
$|g(x)|={\(g(x), \text{se } g(x)>=0),(-g(x), \text{se } g(x)<0):}$

Allora in questo caso ottieni:
$f(x)={\(2x-3, \text{se } x>=3),(3, \text{se } x<3):}$
Una funzione di questo tipo si chiama "funzione a tratti".
Per ogni tratto devi fare uno studio a parte!

[Lokad]

a meno che non mi sia completamente rincoglionito (ed è probabile )
$ f(x)=|x/(x+1)| $ si dovrebbe spezzare in x>=0 e x<0. In effetti, mi sono espresso male, voleva essere solo un esempio quello. Dunque nel punto in cui si spezza la funzione in generale si ha sempre un punto di non derivabilità? Perchè dagli esercizi mi pare di aver capito così.

[leena1]

"Lokad":$ f(x)=|x/(x+1)| $ si dovrebbe spezzare in x>=0 e x<0.

No, si spezza anche in -1, controlla bene i tuoi calcoli!

[Lokad]

"leena":[quote="Lokad"]$ f(x)=|x/(x+1)| $ si dovrebbe spezzare in x>=0 e x<0.

No, si spezza anche in -1, controlla bene i tuoi calcoli![/quote]
Hai ragione.
Per semplicità riporto la funzione che sto facendo come esercizio:

$f(x)=arcsin(|x/(x+1)|)$

dato che $|x/(x+1)|$ la si spezza per x>=0 e x<0 ma anche per x>-1 e x<1, come la si spezza? O meglio come escono le 4 funzionI?

[Raptorista1]

Spero di non dire una sciocchezza, ma credo che il dominio si possa studiare anche prima di separare la funzione.
La seconda domanda sinceramente non l'ho capita.
Per la terza domanda, ti rispondo come con la prima, ma siccome di solito è già divisa per casi, basta controllare che si mantenga la derivabilità nei punti in cui il valore assoluto "spezza".
La quarta non l'ho capita.

Per la domanda del secondo post, prova a pensare ad $f(x)=5+|e^x+x^2|$

[leena1]

"Lokad":Per semplicità riporto la funzione che sto facendo come esercizio:

$f(x)=arcsin|x/(x+1)|$

dato che $|x/(x+1)|$ la si spezza per x>=0 e x<0 ma anche per x>-1 e x<1, come la si spezza? O meglio come escono le 4 funzionI?

$|x/(x+1)|={\(x/(x+1), \text{se } x/(x+1)>=0, \text{ cioè } x<-1 uuu x>=0),(-x/(x+1), \text{se } x/(x+1)<0, \text{ cioè } -1

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[Lokad]

ok, grazie mille

EDIT: allora quindi si ha che

a sistema:

$arcsin(x/(x+1)) x<-1 U x>=0
arcsin(-(x/(x+1))) -1 $

per il dominio pongo |x-1| diverso da zero, dato che il dominio di arcsin è tutto R. Quindi:
D: R\{-1}

ora devo trovare eventuali asintoti faccio il limite considerando entrambe le funzioni, per x->-1 (questo per gli asintoti verticali) ed esce $\+-pi/2$ nella prima e lo stesso nella seconda, quindi non ci sono asintoti verticali. Per gli altri asintoti credo si ragioni nello stesso modo, ovvero applicare il limite per ogni funzione.