Studio di funzione: $y=(x^2)*e^x$

[indovina]

$y=(x^2)*e^x$

dominio
tutto $RR$

segno di $f$:
$(x^2)*e^x>0$ sempre positiva (primo e secondo quadrante)

limiti:
$lim_(x->+oo) (x^2)*e^x=+oo$

$lim_(x->-oo) (x^2)*e^x=0$ (intuitivamente è $0$ ma non so spiegarlo attraverso qualche ragionamento...)

derivata prima:
$y'=2xe^x+(x^2)*e^x$

punti critici:
$2xe^x+(x^2)*e^x=0$

$x*e^x(2+x)=0$

$x=0$ $x=-2$

i punti critici sono due: $(0,0)$ e $(-2;1/2)$

crescenza-decrescenza:
$2xe^x+(x^2)*e^x>0$

$x*e^x(2+x)>0$

$x*e^x>0$ e $(2+x)>0$

ovvero: $x>0$ e $x>-2$

$(-oo;-2)$ e $(0;+oo)$ crescente

$(-2;0)$ decrescente

quindi diciamo che $(0;0)$ è punto di minimo e $(-2;1/2)$ punto di massimo

derivata seconda:
$y''=2(e^x+xe^x)+2xe^x+(x^2)e^x$

$y''=2e^x+2xe^x+2xe^x+(x^2)e^x$

$y''=4xe^x+e^x(2+x^2)$

$y''=e^x(4x+2+x^2)$

eventuali punti di flesso:
$e^x(4x+2+x^2)=0$

$e^x=0$ quando $x->-oo$

$(4x+2+x^2)=0$ le soluzioni sono $x_1=-2-sqrt(2)$ $x_2=-2+sqrt(2)$

mi sa che c'è qualche errore, vero?

[process11]

inizio dal limite
se non sbaglio $\lim_{x \to \-infty}x^2*e^x=+infty*0$
allora lo puoi riscrivere come $\lim_{x \to \-infty}x^2/(1/e^x)$ cioè $\lim_{x \to \-infty}x^2/e^-x$ e cosi lo porti nella forma intederminata $infty/infty$
poi prova a applicare De l'Hopital 2 volte e guarda cosa ti esce
sei sicuro che il punto di massimo $(-2;1/2)$sia giusto? In particolare a me non covince quell' $1/2$, tu da dove lo hai ricavato?

[indovina]

si, applicando de hopital fa:

$2x/(-e^-x)$

e poi $2/(e^-x)$

e viene $0$

[blackbishop13]

c'è una piccola imprecisione:
non è corretto dire che $x^2e^x$ è sempre positiva, infatti c'è un punto in cui si annulla, ovvero $x=0$.

per il resto andava davvero bene, bravo clever ormai questi esercizi sono tuoi!

[indovina]

"blabla":inizio dal limite
se non sbaglio $\lim_{x \to \-infty}x^2*e^x=+infty*0$
allora lo puoi riscrivere come $\lim_{x \to \-infty}x^2/(1/e^x)$ cioè $\lim_{x \to \-infty}x^2/e^-x$ e cosi lo porti nella forma intederminata $infty/infty$
poi prova a applicare De l'Hopital 2 volte e guarda cosa ti esce
sei sicuro che il punto di massimo $(-2;1/2)$sia giusto? In particolare a me non covince quell' $1/2$, tu da dove lo hai ricavato?

Per il punto ho preso $x=-2$ e l'ho messo nella funzione $y=(x^2)*e^x$ che ho calcolato con la calcolatrice, e viene circo $0.52$ io l'ho arrotondato per difetto a $1/2$


La derivata seconda è giusta secondo voi?
e i flessi?
C'è qualcosa che manca?

[blackbishop13]

ma non si fa con la calcolatrice!!!
$f(-2)=4/(e^2)$ e va benissimo così, poi nel grafico quando devi posizionarlo lo arrotonderai, ma i risultati vanno riportati in maniera corretta!
inoltre se calcoli il risultato con la calcolatrice ti viene $f(-2)=0.5413...$ che è un po' troppo generoso arrotondare a $0,5$!

[process11]

direi che la derivata seconda va bene, i punti di ascissa $-2-sqrt2$ e $-2+sqrt2$ sono di flesso per il grafico della funzione
un'altra cosa per completezza: tu dici che il $lim_(x->+infty)$ della funzione è $+infty$, e questo è giusto, ma allora potrebbe esistere un'asintoto obliquo destro, vero?
dovresti dimostrare se esiste o no...