Studio di funzione: $y=loglog(x)$
Ho fatto questo studio di funzione, dateci una occhiata...ci saranno errori di sicuro.
$y=loglog(x)$
Dominio
$log(x)!=0$
$x!=1$
quindi è tutto $RR$ tranne $1$
Segno di $f$
$loglog(x)>0$
$log(x)>0$
$x>e^0$
$x>1$
limiti:
è inutile fare il limite per $x->-oo$
per $x->+oo$ $loglog(x)=+oo$
per $x->1$ $loglog(x)=+oo$
Derivata prima:
$y'=1/(x*log(x))$
Punti critici
$1/(x*log(x))=0$ mai
Crescenza e decrescenza
$1/(x*log(x))>0$
$x*log(x)>0$
ovvero $x>1$
crescenza per $(1;+oo)$
derivata seconda
$y''=-((log(x)+1))/(xlog(x))^2$
concavità
$-((log(x)+1))/(xlog(x))^2>0$
$log(x)+1<0$
$log(x)<-1$
$x<1/e$ concavità verso il basso.
(su questa parte sarei piu incerto).
Cosa ho mancato secondo voi?
$y=loglog(x)$
Dominio
$log(x)!=0$
$x!=1$
quindi è tutto $RR$ tranne $1$
Segno di $f$
$loglog(x)>0$
$log(x)>0$
$x>e^0$
$x>1$
limiti:
è inutile fare il limite per $x->-oo$
per $x->+oo$ $loglog(x)=+oo$
per $x->1$ $loglog(x)=+oo$
Derivata prima:
$y'=1/(x*log(x))$
Punti critici
$1/(x*log(x))=0$ mai
Crescenza e decrescenza
$1/(x*log(x))>0$
$x*log(x)>0$
ovvero $x>1$
crescenza per $(1;+oo)$
derivata seconda
$y''=-((log(x)+1))/(xlog(x))^2$
concavità
$-((log(x)+1))/(xlog(x))^2>0$
$log(x)+1<0$
$log(x)<-1$
$x<1/e$ concavità verso il basso.
(su questa parte sarei piu incerto).
Cosa ho mancato secondo voi?
Risposte
Occhio che qualcosa non va già nel dominio, prova a controllare di nuovo.
Stai attento a quali sono le condizioni da porre affinchè la funzione sia definita.
Stai attento a quali sono le condizioni da porre affinchè la funzione sia definita.
Anche il segno, ad esempio, non va bene.
Se hai
[tex]$\log{f(x)}>0$[/tex] la condizione da porre è [tex]$f(x)>1$[/tex], non [tex]$>0$[/tex].
Nel nostro caso la funzione [tex]$f$[/tex] è il logaritmo.
La crescenza è ok. Per la concavità, non ho controllato la correttezza della derivata seconda, ma i calcoli (la disequazione) son giusti.
I limiti: dici che è inutile fare il limite a meno infinito. Giustamente, per ragioni di esistenza. Perché nel dominio manca allora?
Il limite per $x\to1$ non è giusto, almeno per due motivi. Dopo che abbiamo messo a posto il campo di esistenza possiamo parlarne.
Ciao!
Se hai
[tex]$\log{f(x)}>0$[/tex] la condizione da porre è [tex]$f(x)>1$[/tex], non [tex]$>0$[/tex].
Nel nostro caso la funzione [tex]$f$[/tex] è il logaritmo.
La crescenza è ok. Per la concavità, non ho controllato la correttezza della derivata seconda, ma i calcoli (la disequazione) son giusti.
I limiti: dici che è inutile fare il limite a meno infinito. Giustamente, per ragioni di esistenza. Perché nel dominio manca allora?
Il limite per $x\to1$ non è giusto, almeno per due motivi. Dopo che abbiamo messo a posto il campo di esistenza possiamo parlarne.
Ciao!
Per il dominio
ogni $x>1$ escluso $1$
per la crescenza invece
$x>e$
e per il limite:
$x->1$ $loglog(x)=-oo$
ora dovrei trovarmi credo.
che ne dite?
ogni $x>1$ escluso $1$
per la crescenza invece
$x>e$
e per il limite:
$x->1$ $loglog(x)=-oo$
ora dovrei trovarmi credo.
che ne dite?
"clever":
Per il dominio
ogni $x>1$ escluso $1$
D'accordo.
"clever":
per la crescenza invece
$x>e$
Volevi dire il segno, credo. In questo caso, va bene.
"clever":
e per il limite:
$x->1$ $loglog(x)=-oo$
Merita una precisazione.
Il limite non è per [tex]$x\to 1$[/tex], ma per [tex]$x\to 1^{+}$[/tex]
Infatti la funzione, visto il suo dominio, non è definita a sinistra di 1. Il risultato comunque è ok.
Ti torna? Ciao.
Una domanda mia, non ho capito la derivata prima, perchè risulta quella?
la derivata di [tex]logx=\frac{1}{log}[/tex] perchè c'è al denominatore una x che moltiplica logx?
la derivata di [tex]logx=\frac{1}{log}[/tex] perchè c'è al denominatore una x che moltiplica logx?
$y=loglog(x)$
$y'=(1/x)/(log(x))$
quindi
$y'=1/(x*log(x))$
$y'=(1/x)/(log(x))$
quindi
$y'=1/(x*log(x))$
AH giusto avevo calcolato male, grazie.
Per precisare un mio dubbio
quando scrivo il dominio e dico $x>1$ è inutile mettere anche $x!=1$?
quando scrivo il dominio e dico $x>1$ è inutile mettere anche $x!=1$?
certo che sì, è inutile. 
secondo te la disequazione $x>1$ è verificata se metto al posto di $x$ il valore $1$ ?
direi di no.. infatti $1>1$ è falsa ti pare?
secondo te la disequazione $x>1$ è verificata se metto al posto di $x$ il valore $1$ ?
direi di no.. infatti $1>1$ è falsa ti pare?
Si, giustissimo, era solo per togliermi uno sciocco dubbio.
Scusate devo di esserci sulla derivata prima ma invece no.
Io ho loglog(x) che è una funzione composta giusto?
allora non dovrei avere f'(x)(g(x))(g'(x)) ?
Quindi [tex]\frac{1}{x}*logx*\frac{1}{x}[/tex]
Mi dite dove sbaglio e mi fareste vedere tutti i passaggi?
Io ho loglog(x) che è una funzione composta giusto?
allora non dovrei avere f'(x)(g(x))(g'(x)) ?
Quindi [tex]\frac{1}{x}*logx*\frac{1}{x}[/tex]
Mi dite dove sbaglio e mi fareste vedere tutti i passaggi?
@ guitarplaying: La formula che riporti non è corretta.
La formula della derivata della funzione composta è:
[tex]$[f(g(x))]^\prime =f^\prime (g(x))\cdot g^\prime (x)$[/tex];
scritta in altri termini:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ f(g(x))\right] =\frac{\text{d}}{\text{d} y} f(y)\Big|_{y=g(x)} \cdot \frac{\text{d}}{\text{d} x} g(x)$[/tex].
Prova ad applicarla e vediamo cosa ne trai.
La formula della derivata della funzione composta è:
[tex]$[f(g(x))]^\prime =f^\prime (g(x))\cdot g^\prime (x)$[/tex];
scritta in altri termini:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ f(g(x))\right] =\frac{\text{d}}{\text{d} y} f(y)\Big|_{y=g(x)} \cdot \frac{\text{d}}{\text{d} x} g(x)$[/tex].
Prova ad applicarla e vediamo cosa ne trai.
Mh, non so se ho inteso bene, mi verrebbe:
[tex]\frac{1}{logx}*\frac{1}{x}[/tex]
?
[tex]\frac{1}{logx}*\frac{1}{x}[/tex]
?
Corretto .
Pensa di dover derivare questa funzione $y= log[f(x)] $ ; per le regole di derivazione delle funzioni composte ( come già detto da Gugo) avrai come derivata :
$y' = 1/f(x) *f'(x) $ che è appunto, nel caso specifico, $y'= 1/log(x) *1/x $ .
.Pensa di dover derivare questa funzione $y= log[f(x)] $ ; per le regole di derivazione delle funzioni composte ( come già detto da Gugo) avrai come derivata :
$y' = 1/f(x) *f'(x) $ che è appunto, nel caso specifico, $y'= 1/log(x) *1/x $ .
Ah ok ora è chiaro, avevo inteso malissimo, a essere sincero, avevo capito dopo come applicarla.
Grazie.
Grazie.
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