Studio di funzione vincolato

[bracardi]

come si fa il seguente studio di funzione vincolato.
f(x,y)=1+e^(x^2/y) trovare massimo minimo assoluti della funzione nell'insieme C={(x,y)in R2: 1<=y<=-x^2+2}

[Sk_Anonymous]

La f(x,y) e' definita per y<>0.
Le derivate parziali di f(x,y) rispetto
ad x ed y sono:
fx=2x/y*e^(x^2/y);fy=-x^2/(y^2)*e^(x^2/y);
esse si annullano solo pe x=0 e y<>0,pertanto
i punti critici sono del tipo (0,t) con t<>0.
Di questi punti critici,sono interni al dominio D
quelli per cui e':1 prende il valore f(0,t)=1+e^0=2.
Esaminiamo ora il comportamento della f(x,y)
sulla frontiera di D ovvero
a)sul segmento: -1<=x<=+1 , y=1
b)sulla parabola : -1<=x<=1,y=2-x^2
Sul segmento si ha:
f(x,1)=1+e^(x^2)
fx=2x*e^(x^2)-->fx=0 per x=0.In questo punto la funzione ha un
minimo f(0,1))=2.Per x=-1 o per x=+1 si ha f(x,1)=1+e;
Sulla parabola si ha:
f(x,2-x^2)=1+e^(x^2/(2-x^2));
fx=e^(x^2/(2-x^2))*4x/(2-x^2)^2=0 per x=0
dove ,come prima,la funzione presenta un
minimo f(0,2)=2 ed inoltre f(-1,1)=f(1,1)=1+e;
Riassumendo i valori che la funzione prende
nei punti critici e sulla fontiera sono:
2 ed 1+e>2.
Dunque:max assoluto= 1+e;min assoluto=2.

karl.







Modificato da - karl il 09/12/2003 18:47:43

[bracardi]

citazione:

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La f(x,y) e' definita per y<>0.
Le derivate parziali di f(x,y) rispetto
ad x ed y sono:
fx=2x/y*e^(x^2/y);fy=-x^2/(y^2)*e^(x^2/y);
esse si annullano solo pe x=0 e y<>0,pertanto
i punti critici sono del tipo (0,t) con t<>0.
Di questi punti critici,sono interni al dominio D
quelli per cui e':1 prende il valore f(0,t)=1+e^0=2.
Esaminiamo ora il comportamento della f(x,y)
sulla frontiera di D ovvero
a)sul segmento: -1<=x<=+1 , y=1
b)sulla parabola : -1<=x<=1,y=2-x^2
Sul segmento si ha:
f(x,1)=1+e^(x^2)
fx=2x*e^(x^2)-->fx=0 per x=0.In questo punto la funzione ha un
minimo f(0,1))=2.Per x=-1 o per x=+1 si ha f(x,1)=1+e;
Sulla parabola si ha:
f(x,2-x^2)=1+e^(x^2/(2-x^2));
fx=e^(x^2/(2-x^2))*4x/(2-x^2)^2=0 per x=0
dove ,come prima,la funzione presenta un
minimo f(0,2)=2 ed inoltre f(-1,1)=f(1,1)=1+e;
Riassumendo i valori che la funzione prende
nei punti critici e sulla fontiera sono:
2 ed 1+e>2.
Dunque:max assoluto= 1+e;min assoluto=2.

karl.

---

Perchè quando vai a vedere il comportamento dellla funzione nella forontiera hai -1<=x<=1?GRAZIE!!!

[Sk_Anonymous]

E'necessario trovare le intersezioni
della parabola y=2-x^2 con la retta y=1
e quindi:
1=2-x^2 da cui x=-1,x=1.
Se disegni la parabola e la retta y=1
avrai la situazione piu' chiara.
karl.

[Sk_Anonymous]

Occorre trovare le intersezioni della
parabola con la retta y=1.
quindi:
[y=2-x^2 ; y=1] -->1=2-x^2--->x=-1,x=1;
karl.



Modificato da - karl il 09/12/2003 22:35:58