Studio di funzione integrale

[Bonfi171]

Ragazzi ho un piccolo problema...
devo studiare questa funzione integrale:
$ F(x) = |x|+ int_(0)^(x) (1+root(3)(x)e^{-(t)^(2) })dt $

devo trovare l'insieme di definizione, crescere e decrescere, limiti alla frontiera, eventuali estremanti ed asintoti, convessità e concavità

il dubbio esistenziale è:
per l'integrale posso cavarmela, ma come me la giostro la situazione con qll $ |x| $ ?

altra cosa.. Ho studiato questa funzione:

$ F(X) = int_(pi/2)^(x) ((sin u - 1)/((2u-7pi)(2u-5pi)(sqrt(2u-pi)))) $

la prima cosa che ho fatto è stato quello di calcolare il dominio della funzione f(u):
$ (pi/2;7/2pi) vv (7/2pi;+oo ) $
e fino qui (spero e penso) sia giusto.
poi ho calcolato gli asintoti della f(u):

$ lim_(x -> (pi/2)+) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = 0 $

(ho applicato l'Hopital)
e quindi ho trovato che y=0 è un asintoto orizzontale
poi ho calcolato i limiti a sinistra e a destra di $ 7/2pi $ e

$ lim_(x -> (7/2pi)-) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = + oo $ essendo di ordine 1 => Diverge

$ lim_(x -> (7/2pi)+) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = - oo $

quindi $ x= 7/2pi $ è asintoto verticale

poi... ho studiato il segno e ho scoperto che
$ pi/2 < x < 7/2pi rArr f(x) > 0 $
$ x > 7/2pi rArr f(x) < 0 $

allora poi ho iniziato a studiare la funzione integrale
ho calcolato il dominio:
$ { ( x>7/2pi ),( pi/2>7/2pi ):} rArr imp. $
$ { ( x<7/2pi ),( pi/2<7/2pi ):} rArr x<7/2pi $

quindi il Dominio della funzione integrale è:

$ (pi/2;7/2pi) $

Giusto?

poi ho calcolato il segno della funzione integrale:

$ F(pi/2)= int_(pi/2)^(pi/2) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = 0 $

$ F(X) > 0 rArr pi/2 < x < 7/2pi rArr F(X)=int_(pi/2)^(x) f(u)du $

$ F(X) < 0 rArr x > 7/2pi rArr F(X)=- int_(x)^(pi/2) f(u)du $

ho calcolato i limiti della funzione integrale agli estremi del SUO dominio:

$ lim_(x -> pi/2) int_(pi/2)^(pi/2) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = 0 $

$ lim_(x -> pi/2) int_(pi/2)^(7/2pi) ((sin x-1)/((2x-5pi)(2x-7pi)(sqrt(2x-pi)))) = oo $ il quale diverge.

Ma ora come cavolo a trovare tutto il resto che mi chiedono? Insieme di derivabilità, asintoti della funzione, intervalli di monotonia ed estremanti relativi?

Vi pregoooo! Aiutatemi!

[dissonance]

"Bonfi17":Ragazzi ho un piccolo problema...
devo studiare questa funzione integrale:
$ F(x) = |x|+ int_(0)^(x) (1+root(3)(x)e^{-(t)^(2) })dt $

devo trovare l'insieme di definizione, crescere e decrescere, limiti alla frontiera, eventuali estremanti ed asintoti, convessità e concavità

il dubbio esistenziale è:
per l'integrale posso cavarmela, ma come me la giostro la situazione con qll $ |x| $ ?

Ti conviene ficcare quel $|x|$ sotto il segno di integrale. Prova ad osservare che
\[
\lvert x \rvert=\int_0^{|x|} 1 \, dx
\]
e distingui i due casi \(x>0, x<0\).