Studio di funzione in due variabili

[τau1]

Ciao ragazzi, ancora studi di funzioni a due variabili
L'ho svolto tutto, per favore correggete eventuali errori

$f(x)=2-x^4 + 2*x^2 * y^2 - y^4$

Ho svolto le derivate seconde da cui ottengo $A(0,0)$ $B(x,x)$ $C(x,-x)$
Quindi abbiamo la bisettrice del primo e terzo quadrante$x=y$ e quella del secondo e quarto $x=-y$
Per cui il punto A è un sottocaso dei due

L'hessiano risulta nullo, per cui utilizzo il metodo del segno
$f(x,y)-f(x,x)>=0$ $->$ $f(x,y)>=2$
$f(x,y)-f(x,-x)>=0$ $->$ $f(x,y)>=2$
$f(x,y)-f(0,0)>=0$ $->$ $f(x,y)>=2$
Da ambe tre risulta $2-(x^2 - y^2)^2>=0$ $iff$ $x!=y$
$(x^2 - y^2)^2$ maggiore di zero perché è un quadrato,
quindi esiste un intorno di $A(0,0)$ $B(x,x)$ $C(x,-x)$ per cui la funzione è maggiore di $0$
$A(0,0)$ $B(x,x)$ $C(x,-x)$ sono MINIMI

Ho sbagliato qualcosa
Grazie ragazzi

[τau1]

Scusa TeM, spero di non essere troppo sciocco e fastidioso nel chiederti un chiarimento su questa cosa..
(immagino che sia una svista clamorosa)

Io impongo che $f(x,y)-f(t,+-t)>=0$ $->$ $2-x^4 +2*x^2 * y^2 - y^4 -2 >=0$ $->$ $-x^4 +2*x^2 * y^2 - y^4 >=0$
Cambio il segno e il verso della disequazione $+x^4 -2*x^2 * y^2 + y^4 <=0$ $->$ $(x^2 - y^2)^2<=0$ $->$ $(x-y)^2*(x+y)^2 <=0$
A me quindi la disequazione risulta $<=$ ..
E mi chiedo, quando $(x-y)^2*(x+y)^2 <=0$ e direi.. mai.. perché sono due quadrati e non possono essere mai $<$
Essendo quindi la funzione mai minore di zero, è sicuramente maggiore di zero, quindi $(t,+-t)$ risultano di minimo relativo

Dove sbaglio?

[τau1]

Ahhh.. allora
È evidente che non avevo capito a fondo questa parte:

"TeM": Infatti, devi aver bene a mente che un punto critico per \(f\) di coordinate \((x_0,\,y_0)\) è di massimo relativo per \(f\) quando
la disequazione \(f(x_0,\,y_0) \ge f(x,\,y)\) è verificata per qualsiasi x, y appartenenti all'intorno di \((x_0,\,y_0)\) e analoga-
mente è di minimo relativo per \(f\) quando la disequazione \(f(x_0,\,y_0) \le f(x,\,y)\) è verificata per qualsiasi x, y appar-
tenenti all'intorno di \((x_0,\,y_0)\).

Detto ciò, io imposto la mia disequazione $f(x,y)-f(t,+-t)>=0$ che diventa $f(x,y)>=f(t,+-t)$ che se è verificata per qualsiasi x, y appartenenti all'intorno del punto allora è un minimo, se non è verificata è un massimo.
Detto questo mi scrivo la disequazione $2-x^4 +2*x^2 *y^2 -y^4>=2$ $->$ $-x^4 +2*x^2 *y^2 -y^4>=0$ $->$ $-(x^2 - y^2)^2>=0$
Quindi mi chiedo se quest'ultima espressione è verificata per qualsiasi x, y appartenenti all'intorno del punto? Evidentemente no, perché per qualsiasi valore impongo a x e y, quello è si un quadrato quindi positivo, ma il meno rende il tutto una quantità negativa che ci permette di dire che non sarà mai $>=0$

..Quindi non è verificata, pertanto è un massimo assoluto !!!

Ha qualche difetto il mio ragionamento?