Studio di funzione in 3 variabili
Ciao a tutti, devo determinare inf e sup di $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4$ nell'insieme $A={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x>0,y>0,z>0,xyz=1}$
Noto che l'insieme non è limitato (e forse neanche chiuso) in quanto posso prendere $f(1,1/t,t)$ dato che $1*1/t*t=1\inA$ e ottengo che $\lim_{t\to+\infty} f(1,1/t,t)=+\infty$, per cui sup$f=+\infty$.
Per l'inf invece ho dei problemi, ho provato a porre $x=1/(yz)$ e studiare $g(y,z)=(1+y^5z^2+y^2z^6)/(y^2z^2)$ con la restrizione
$y>0,z>0$ e ho trovato dei punti molto particolari (sempre se non ho sbagliato a fare i calcoli).
Tuttavia ho anche notato che l'unico stazionario interno di f è (0,0,0), che però non appartiene ad A.
Avete altre idee/suggerimenti? Devo inoltre specificare se l'inf è un minimo.
Grazie in anticipo
Noto che l'insieme non è limitato (e forse neanche chiuso) in quanto posso prendere $f(1,1/t,t)$ dato che $1*1/t*t=1\inA$ e ottengo che $\lim_{t\to+\infty} f(1,1/t,t)=+\infty$, per cui sup$f=+\infty$.
Per l'inf invece ho dei problemi, ho provato a porre $x=1/(yz)$ e studiare $g(y,z)=(1+y^5z^2+y^2z^6)/(y^2z^2)$ con la restrizione
$y>0,z>0$ e ho trovato dei punti molto particolari (sempre se non ho sbagliato a fare i calcoli).
Tuttavia ho anche notato che l'unico stazionario interno di f è (0,0,0), che però non appartiene ad A.
Avete altre idee/suggerimenti? Devo inoltre specificare se l'inf è un minimo.
Grazie in anticipo
Risposte
Prova con i moltiplicatori di Lagrange.
"otta96":
Prova con i moltiplicatori di Lagrange.
Esce il seguente sistema (preso come vincolo $g(x,y,z)=xyz-1$ ): \begin{cases} 2x=\lambda yz \\ 3y^2=\lambda xz \\ 4z^3=\lambda xy \end{cases} e sinceramente non so come risolverlo
Sei sulla strada giusta, fai l'hessiana di $g$ e scopri che è un minimo. Lo so che è un punto strano, ma nella vita non ci sono solo punti belli.
Un consiglio sull'hessiana, dopo che hai calcolato le derivate seconde, non sostituire subito i valori numerici del punto critico, calcola il determinante, e vedrai che con le opportune semplificazioni ottieni un polinomio molto brutto, ma solo un termine ha il segno negativo, a quel punto ti basterà notare che quel termine è chiaramente minore di 1, e quindi il determinante ti viene positivo, mentre i termini sulla diagonale sono evidentemente positivi.
Un consiglio sull'hessiana, dopo che hai calcolato le derivate seconde, non sostituire subito i valori numerici del punto critico, calcola il determinante, e vedrai che con le opportune semplificazioni ottieni un polinomio molto brutto, ma solo un termine ha il segno negativo, a quel punto ti basterà notare che quel termine è chiaramente minore di 1, e quindi il determinante ti viene positivo, mentre i termini sulla diagonale sono evidentemente positivi.
Urca ci ho messo troppo a rispondere, io l'ho fatto in entrambe le maniere, anche con i moltiplicatori di lagrange ottieni lo stesso punto critico che ottieni annullando il gradiente della funzione che hai chiamato $g$.
Tuttavia usare i moltiplicatori di lagrange da soli è inutile in questo caso, perché il punto critico che ottieni non puoi sapere cos'è, puoi solo essere certo che è un punto critico vincolato. C'è un teorema che usa le derivate direzionali, che permette di determinare la natura di un punto critico mediante i moltiplicatori di lagrange, però non è così maneggievole come applicazione.
P.s.
Risolvere quel sistema è banale, dovresti provare per esercizio personale.
Tuttavia usare i moltiplicatori di lagrange da soli è inutile in questo caso, perché il punto critico che ottieni non puoi sapere cos'è, puoi solo essere certo che è un punto critico vincolato. C'è un teorema che usa le derivate direzionali, che permette di determinare la natura di un punto critico mediante i moltiplicatori di lagrange, però non è così maneggievole come applicazione.
P.s.
Risolvere quel sistema è banale, dovresti provare per esercizio personale.
@Bossmer potresti dirmi che punto hai trovato studiando $g(y,z)$?
$$
(y,z)=\left( \left(\frac{16}{27}\right)^{\frac{1}{13}},\left(\frac{9}{128}\right)^{\frac{1}{26}}\right)
$$
(y,z)=\left( \left(\frac{16}{27}\right)^{\frac{1}{13}},\left(\frac{9}{128}\right)^{\frac{1}{26}}\right)
$$
"Bossmer":
Sei sulla strada giusta, fai l'hessiana di $g$ e scopri che è un minimo. Lo so che è un punto strano, ma nella vita non ci sono solo punti belli.
Questo è sicuramente sbagliato, perché per punti critici vincolati non si può usare l'Hessiana così.
viewtopic.php?p=8274295#p8274295
"dissonance":
[quote="Bossmer"]Sei sulla strada giusta, fai l'hessiana di $g$ e scopri che è un minimo. Lo so che è un punto strano, ma nella vita non ci sono solo punti belli.
Questo è sicuramente sbagliato, perché per punti critici vincolati non si può usare l'Hessiana così.
viewtopic.php?p=8274295#p8274295[/quote]
Penso tu sia stato troppo frettoloso a rispondere, nel tuo esempio all'interno del link fai l'hessiana della lagrangiana, mentre qui nessuno sta facendo l'hessiana della lagrangiana.
No scusa,mi sa che ho risposto troppo frettolosamente anch'io, forse non fai l'hessiana della lagrangiana, ma l'hessiana di $f$ (funzione originaria).
Ma in ogni caso non cambia il fatto che qui nessuno sta facendo nemmeno questo, infatti ho detto di fare l'hessiana di $g(y,z)$ non di $f(x,y,z)$.
Ma in ogni caso non cambia il fatto che qui nessuno sta facendo nemmeno questo, infatti ho detto di fare l'hessiana di $g(y,z)$ non di $f(x,y,z)$.
"Bossmer":
$$
(y,z)=\left( \left(\frac{16}{27}\right)^{\frac{1}{13}},\left(\frac{9}{128}\right)^{\frac{1}{26}}\right)
$$
ODDIO E' QUELLO CHE ESCE ANCHE A ME
Scusate il maiuscolo ma sono troppo emozionato, è un punto con coordinate talmente particolari che ero convinto di aver sbagliato
Mi correggo ulteriormente, avevo detto giusto la prima volta, stavi facendo l'hessiana della lagrangiana. sorry 
@Bossmer: ah ho capito dove nasce la confusione, hai ragione. Per \(g\) tu intendi la funzione del primo post, ovvero
\[
g(y,z)= \frac{1+y^5z^2+y^2z^6}{y^2z^2}.\]
\[
g(y,z)= \frac{1+y^5z^2+y^2z^6}{y^2z^2}.\]
"Lebesgue":
[quote="Bossmer"]$$
(y,z)=\left( \left(\frac{16}{27}\right)^{\frac{1}{13}},\left(\frac{9}{128}\right)^{\frac{1}{26}}\right)
$$
ODDIO E' QUELLO CHE ESCE ANCHE A ME
Scusate il maiuscolo ma sono troppo emozionato, è un punto con coordinate talmente particolari che ero convinto di aver sbagliato[/quote]
e se provi a risolvere quel sistema ti viene la stessa soluzione per $y$ e $z$ mentre ti viene $x=(81/2)^{1/26}$
Ora non ti resta che andare avanti, non farti spaventare dai conti, in ogni caso fare il minimo comun denominatore non è stata un idea intelligente perché fai più fatica a fare le derivate; i conti saranno più semplici se scrivi $g$ così come vien fuori facendo la tua sostituzione e basta.
"dissonance":
@Bossmer: ah ho capito dove nasce la confusione, hai ragione. Per \(g\) tu intendi la funzione del primo post, ovvero
\[
g(y,z)= \frac{1+y^5z^2+y^2z^6}{y^2z^2}.\]
Si si infatti dopo aver risposto ho immaginato che ci fosse stato questo fraintendimento.
Io ho provato a dire che f ammette minimo su A con il seguente ragionamento:
f ammette minimo su $B={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\ge0,y\ge0,z\ge0}$ poichè in B vale che $\lim_{x^2+y^2+z^2} f=+\infty$.
Ora si ha che $A\subset B$ quindi anche in A f ammette minimo.
(non so se tale ragionamento sia giusto)
f ammette minimo su $B={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\ge0,y\ge0,z\ge0}$ poichè in B vale che $\lim_{x^2+y^2+z^2} f=+\infty$.
Ora si ha che $A\subset B$ quindi anche in A f ammette minimo.
(non so se tale ragionamento sia giusto)
Beh è un bel ragionamento, grossomodo, anche se per $A$ insieme qualsiasi di sicuro è falso.
Però nel tuo caso $A$ è un insieme chiuso, quindi può funzionare, però lo devi formalizzare un po', perché in particolare l'ultima frase è sicuramente falsa, infatti se avessi $A={x>0,y>0,z>0}$ allora di sicuro $f$ non ammette minimo su $A$, anche se $A\subset B$, inoltre dovresti fare un ragionamento per assurdo per mostrare che $f$ ammette minimo su $B$ se volessimo insistere...
Però nel tuo caso $A$ è un insieme chiuso, quindi può funzionare, però lo devi formalizzare un po', perché in particolare l'ultima frase è sicuramente falsa, infatti se avessi $A={x>0,y>0,z>0}$ allora di sicuro $f$ non ammette minimo su $A$, anche se $A\subset B$, inoltre dovresti fare un ragionamento per assurdo per mostrare che $f$ ammette minimo su $B$ se volessimo insistere...
"Bossmer":
inoltre dovresti fare un ragionamento per assurdo per mostrare che $f$ ammette minimo su $B$ se volessimo insistere...
Perchè scusa? Non è una specie di Weiestrass generalizzato? Weiestrass generalizzato dice che se $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è continua (in realtà basta semicontinua iinferiormente) e il limite all'infinito di f è più infinito, allora f ammette minimo su tutto $\mathbb{R}^n$.
Ho riapplicato questo risultato al caso $f:B\to \mathbb{R}$ della funzione dell'esercizio.
Non lo avevo mai sentito come teorema, quindi non so, bisognerebbe vederne la dimostrazione per capire se rimane valido cambiando l'insieme di definizione, così a priori non te lo so dire, quello che ti so dire è che se prendevi $B$ aperto di sicuro era falso.
Comunque sullo stesso filone di ragionamento potevi fare il limite di $g$ sulla sua frontiera e notare che il limite è più infinito e quindi concludere che essendo $g$ continua allora il minimo esiste ed è interno.
Comunque sullo stesso filone di ragionamento potevi fare il limite di $g$ sulla sua frontiera e notare che il limite è più infinito e quindi concludere che essendo $g$ continua allora il minimo esiste ed è interno.
Purtroppo non va bene. Prendi per esempio \(B=[-1,\infty)\) e \(A=[0, \infty)\), in modo che \(A\subset B\). Considera la funzione
\[
f(x)=\begin{cases} e^{-x^2}, & x\ge 0, \\
1-x^2, & -1\le x< 0,
\end{cases}\]
che è di classe \(C^1\) e ha per minimo \(0\). Su \(B\), il minimo è raggiunto in \(x=-1\), ma su \(A\), che pure è un sottoinsieme chiuso di \(B\), il minimo non è raggiunto.
\[
f(x)=\begin{cases} e^{-x^2}, & x\ge 0, \\
1-x^2, & -1\le x< 0,
\end{cases}\]
che è di classe \(C^1\) e ha per minimo \(0\). Su \(B\), il minimo è raggiunto in \(x=-1\), ma su \(A\), che pure è un sottoinsieme chiuso di \(B\), il minimo non è raggiunto.
"Bossmer":
Comunque sullo stesso filone di ragionamento potevi fare il limite di $g$ sulla sua frontiera e notare che il limite è più infinito e quindi concludere che essendo $g$ continua allora il minimo esiste ed è interno.
In che senso "il limite sulla frontiera"? (Ps. con $g$ intendi la funzione $g(y,z)$ o l'equazione del vincolo?)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo