Studio di funzione in 3 variabili
Ciao a tutti, devo determinare inf e sup di $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4$ nell'insieme $A={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x>0,y>0,z>0,xyz=1}$
Noto che l'insieme non è limitato (e forse neanche chiuso) in quanto posso prendere $f(1,1/t,t)$ dato che $1*1/t*t=1\inA$ e ottengo che $\lim_{t\to+\infty} f(1,1/t,t)=+\infty$, per cui sup$f=+\infty$.
Per l'inf invece ho dei problemi, ho provato a porre $x=1/(yz)$ e studiare $g(y,z)=(1+y^5z^2+y^2z^6)/(y^2z^2)$ con la restrizione
$y>0,z>0$ e ho trovato dei punti molto particolari (sempre se non ho sbagliato a fare i calcoli).
Tuttavia ho anche notato che l'unico stazionario interno di f è (0,0,0), che però non appartiene ad A.
Avete altre idee/suggerimenti? Devo inoltre specificare se l'inf è un minimo.
Grazie in anticipo
Noto che l'insieme non è limitato (e forse neanche chiuso) in quanto posso prendere $f(1,1/t,t)$ dato che $1*1/t*t=1\inA$ e ottengo che $\lim_{t\to+\infty} f(1,1/t,t)=+\infty$, per cui sup$f=+\infty$.
Per l'inf invece ho dei problemi, ho provato a porre $x=1/(yz)$ e studiare $g(y,z)=(1+y^5z^2+y^2z^6)/(y^2z^2)$ con la restrizione
$y>0,z>0$ e ho trovato dei punti molto particolari (sempre se non ho sbagliato a fare i calcoli).
Tuttavia ho anche notato che l'unico stazionario interno di f è (0,0,0), che però non appartiene ad A.
Avete altre idee/suggerimenti? Devo inoltre specificare se l'inf è un minimo.
Grazie in anticipo
Risposte
Penso di aver capito perché nel tuo caso sembra funzionare, e il teorema di Weistrass non centra niente.
$g(y,z)=\frac{1}{y^2z^2}+y^3+z^4$ si vede subito che è una funzione convessa nel primo quadrante(esclusi gli assi dove non è definita e tende a più infinito), perché è la somma di funzioni convesse, e quindi ogni punto critico è un punto di minimo, fine.
$g(y,z)=\frac{1}{y^2z^2}+y^3+z^4$ si vede subito che è una funzione convessa nel primo quadrante(esclusi gli assi dove non è definita e tende a più infinito), perché è la somma di funzioni convesse, e quindi ogni punto critico è un punto di minimo, fine.
"Lebesgue":
[quote="Bossmer"]
Comunque sullo stesso filone di ragionamento potevi fare il limite di $g$ sulla sua frontiera e notare che il limite è più infinito e quindi concludere che essendo $g$ continua allora il minimo esiste ed è interno.
In che senso "il limite sulla frontiera"? (Ps. con $g$ intendi la funzione $g(y,z)$ o l'equazione del vincolo?)[/quote]
Intendo chiaramente $ g(y,z)=\frac{1}{y^2z^2}+y^3+z^4 $.
Essendo il dominio di $g$ , $A={y>0,z>0}$ con "la frontiera" intendo sia la vera e propria frontiera di $A$ cioè $\partial A={(y,z) : y=0 \vee z=0}$ che il punto all'infinito(rimanendo nel primo quadrante).
e per limite intendo che devi calcolare $$\lim_{||(y,z)|| \to \infty} g(y,z)$$ chiaramente con $y>0$ e $z>0$, che calcolare i limiti $$\lim_{y\to 0+}g(y,z)$$ $$\lim_{z\to 0+}g(y,z)$$ $$\lim_{(y,z)\to (0,0)}g(y,z)$$ dove l'ultimo va sempre calcolato con la restrizione $y>0$ e $z>0$.
se tutti questi limiti sono uguali a $+\infty$ allora essendo $g$ continua il minimo esiste, ed è interno(questo fatto lo puoi dimostrare per assurdo).
@Bossomer se invece facessi così:
la funzione g(y,z) ammette minimo su $y\ge0,z\ge0$ per il limite all'infinito, tuttavia tale minimo non è in (0,0) poichè in quel caso $\lim_{(y,z)\to(0,0)} g(y,z)=+\infty$ dunque il minimo è raggiunto in punto con z>0 e y>0, quindi in A.
Poi lo trovo risolvendo gradiente=0.
Dici che va bene?
la funzione g(y,z) ammette minimo su $y\ge0,z\ge0$ per il limite all'infinito, tuttavia tale minimo non è in (0,0) poichè in quel caso $\lim_{(y,z)\to(0,0)} g(y,z)=+\infty$ dunque il minimo è raggiunto in punto con z>0 e y>0, quindi in A.
Poi lo trovo risolvendo gradiente=0.
Dici che va bene?
"Bossmer":
Penso di aver capito perché nel tuo caso sembra funzionare, e il teorema di Weistrass non centra niente.
$g(y,z)=\frac{1}{y^2z^2}+y^3+z^4$ si vede subito che è una funzione convessa nel primo quadrante(esclusi gli assi dove non è definita e tende a più infinito), perché è la somma di funzioni convesse, e quindi ogni punto critico è un punto di minimo, fine.
Una domanda: questa osservazione si poteva fare sin dall'inizio con la funzione originaria $f(x,y,z)$?
"Lebesgue":
@Bossomer se invece facessi così:
la funzione g(y,z) ammette minimo su $y\ge0,z\ge0$ per il limite all'infinito, tuttavia tale minimo non è in (0,0) poichè in quel caso $\lim_{(y,z)\to(0,0)} g(y,z)=+\infty$ dunque il minimo è raggiunto in punto con z>0 e y>0, quindi in A.
Poi lo trovo risolvendo gradiente=0.
Dici che va bene?
No questo non può andare bene, perché $g$ non è definita nel dominio che hai scritto $y\ge0,z\ge0$
"Lebesgue":
[quote="Bossmer"]Penso di aver capito perché nel tuo caso sembra funzionare, e il teorema di Weistrass non centra niente.
$ g(y,z)=\frac{1}{y^2z^2}+y^3+z^4 $ si vede subito che è una funzione convessa nel primo quadrante(esclusi gli assi dove non è definita e tende a più infinito), perché è la somma di funzioni convesse, e quindi ogni punto critico è un punto di minimo, fine.
Una domanda: questa osservazione si poteva fare sin dall'inizio con la funzione originaria $ f(x,y,z) $?[/quote]
Non penso, perché sicuramente dipende dal vincolo. Infatti se prendi ad esempio la funzione $f(x,y)=x^2+y$ questa è una funzione convessa su tutto lo spazio, se ora prendi la restrizione $y=-x^4$ la funzione sulla restrizione non è più convessa.
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