Studio di funzione con inf
Nell'ultimo compito di analisi il prof ci ha dato da risolvere questa funzione:
$f(x)=(x^4-|x|x^3+x)g(x)$
essendo
$g(x)="inf"\{e^(-nx) ", con "n in NN\}$
Sinceramente non saprei da dove iniziare a metterci mano.Qualcuno può darmi qualche spunto
$f(x)=(x^4-|x|x^3+x)g(x)$
essendo
$g(x)="inf"\{e^(-nx) ", con "n in NN\}$
Sinceramente non saprei da dove iniziare a metterci mano.Qualcuno può darmi qualche spunto
Risposte
Allora facendo la derivata di $y=e^(-nx)$ ottengo $y'=-n*e^(-nx)$
eseguendo il limite: $lim_(n to +infty) -n*e^(-nx)=0$ con questo posso dire che la successione è limitata sup.
eseguendo il limite: $lim_(n to +infty) -n*e^(-nx)=0$ con questo posso dire che la successione è limitata sup.
Innanzitutto mi scuso con tutti per le sciocchezze che ho scritto. Torno al problema, sperando che la notte passata a dormire sia servita a qualcosa 
La derivata è esatta ma mi chiedo se sia veramente neccessario calcolarla. Abbiamo una successione di funzioni $y_n(x)= e^(-n x)$ con $x>0$ fissato. Potrai osservare che $y_{n+1}(x)= e^(-(n+1) x)<= e^(-n x)= y_{n}(x)$, cioè abbiamo una successione decrescente in n. Hai quindi che l'inf è dato dal limite per n che tende a più infinito di $e^(-n x)$.
$lim_{n\to +\infty} e^(-n x) = 0$. Dunque l'inf è 0. Ti trovi ora?
"mazzy89":
Allora facendo la derivata di $y=e^(-nx)$ ottengo $y'=-n*e^(-nx)$
eseguendo il limite: $lim_(n to +infty) -n*e^(-nx)=0$ con questo posso dire che la successione è limitata sup.
La derivata è esatta ma mi chiedo se sia veramente neccessario calcolarla. Abbiamo una successione di funzioni $y_n(x)= e^(-n x)$ con $x>0$ fissato. Potrai osservare che $y_{n+1}(x)= e^(-(n+1) x)<= e^(-n x)= y_{n}(x)$, cioè abbiamo una successione decrescente in n. Hai quindi che l'inf è dato dal limite per n che tende a più infinito di $e^(-n x)$.
$lim_{n\to +\infty} e^(-n x) = 0$. Dunque l'inf è 0. Ti trovi ora?
"Mathematico":
Innanzitutto mi scuso con tutti per le sciocchezze che ho scritto. Torno al problema, sperando che la notte passata a dormire sia servita a qualcosa
[quote="mazzy89"]Allora facendo la derivata di $y=e^(-nx)$ ottengo $y'=-n*e^(-nx)$
eseguendo il limite: $lim_(n to +infty) -n*e^(-nx)=0$ con questo posso dire che la successione è limitata sup.
La derivata è esatta ma mi chiedo se sia veramente neccessario calcolarla. Abbiamo una successione di funzioni $y_n(x)= e^(-n x)$ con $x>0$ fissato. Potrai osservare che $y_{n+1}(x)= e^(-(n+1) x)<= e^(-n x)= y_{n}(x)$, cioè abbiamo una successione decrescente in n. Hai quindi che l'inf è dato dal limite per n che tende a più infinito di $e^(-n x)$.
$lim_{n\to +\infty} e^(-n x) = 0$. Dunque l'inf è 0. Ti trovi ora?[/quote]
Esattamente ora mi ritrovo mi è tutto chiaro.Bene bene finalmente.Invece ritornando al caso $x<0$ essendo la funzione crescente allora l'inf è dato da quale limite?
Sia $y_n(x)= e^(-n x)$ con x<0 fissato, allora la successione è crescente in n, cioè $y_n(x)<= y_{n+1}(x)$ $AA n\in NN\setminus{0}$.In tal caso, l'inf si ha per $n=1$. Se ci ragioni un attimino è davvero evidente
"Mathematico":
Sia $y_n(x)= e^(-n x)$ con x<0 fissato, allora la successione è crescente in n, cioè $y_n(x)<= y_{n+1}(x)$ $AA n\in NN\setminus{0}$.In tal caso, l'inf si ha per $n=1$. Se ci ragioni un attimino è davvero evidente
Be se non vado errato l'inf è uguale ad 1 da definizione di successione inferiormente limitata:
essendo $e^(n|x|)>1$ $AA n in NN$
giusto?
Attenzione, noi abbiamo fissato $x$ che è un valore negativo. Abbiamo detto che nel caso in cui $x<0$ la successione $y_n(x)<= y_{n+1}(x)$. L'inf lo abbiamo per n=1 e dunque $"inf"= e^(-x)$. Dobbiamo prendere $n=1$ perchè il docente non accetta che $0\in NN$. Nel caso in cui $0\in NN$ allora avremmo avuto l'inf per $n=0$ e quindi $"inf"= 1$. Stai attento però che devi ragionare sulla variabile discreta n e non sulla variabile continua x. Spero sia più chiaro ora 
"Mathematico":
Attenzione, noi abbiamo fissato $x$ che è un valore negativo. Abbiamo detto che nel caso in cui $x<0$ la successione $y_n(x)<= y_{n+1}(x)$. L'inf lo abbiamo per n=1 e dunque $"inf"= e^(-x)$. Dobbiamo prendere $n=1$ perchè il docente non accetta che $0\in NN$. Nel caso in cui $0\in NN$ allora avremmo avuto l'inf per $n=0$ e quindi $"inf"= 1$. Stai attento però che devi ragionare sulla variabile discreta n e non sulla variabile continua x. Spero sia più chiaro ora
Bene bene chiarissimo.Io mi facevo distrarre dalla variabile continua x che mi distoglieva dallo scopo del vero esercizio. Ti ringrazio all'infinito per la tua disponibilità e paziensa.
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