Studio di funzione con inf
Nell'ultimo compito di analisi il prof ci ha dato da risolvere questa funzione:
$f(x)=(x^4-|x|x^3+x)g(x)$
essendo
$g(x)="inf"\{e^(-nx) ", con "n in NN\}$
Sinceramente non saprei da dove iniziare a metterci mano.Qualcuno può darmi qualche spunto
$f(x)=(x^4-|x|x^3+x)g(x)$
essendo
$g(x)="inf"\{e^(-nx) ", con "n in NN\}$
Sinceramente non saprei da dove iniziare a metterci mano.Qualcuno può darmi qualche spunto
Risposte
Comincia a calcolare quali valori prende $g$: una cosa buona e giusta è distinguere i casi $x>0$, $x=0$ ed $x<0$ ed aiuta molto ricordare le proprietà dell'esponenziale (in primis la monotonia).
Dunque partiamo:
caso $x=0$:
$AAninNN$
$y=e^0=1$
caso $x>0$:
$AAninNN$
$y=e^(-nx)$
$lim_(x to +infty) e^(-nx)=0$
$lim_(x to -infty) e^(nx)=+infty$
$y'=-n*e^(-n*x)$
questa risulta decrescente $AA x>0$
caso $x<0$:
$y=e^(nx)$
$lim_(x to +infty) e^(nx)=+infty$
$lim_(x to -infty) e^(nx)=0$
$y'=n*e^(nx)$
questa risulta crescente $AA x>0$
caso $x=0$:
$AAninNN$
$y=e^0=1$
caso $x>0$:
$AAninNN$
$y=e^(-nx)$
$lim_(x to +infty) e^(-nx)=0$
$lim_(x to -infty) e^(nx)=+infty$
$y'=-n*e^(-n*x)$
questa risulta decrescente $AA x>0$
caso $x<0$:
$y=e^(nx)$
$lim_(x to +infty) e^(nx)=+infty$
$lim_(x to -infty) e^(nx)=0$
$y'=n*e^(nx)$
questa risulta crescente $AA x>0$
ho riflettuto e sono pervenuto alla conclusione che l'estremo inferiore dell'insieme $g(x)$ è $0$. ma allora moltiplicando tutto per $0$ la $f(x)$ diventa uguale a $0$ e l'esercizio è concluso. E' possibile?
Guada che $x$ lo devi ritenere fissato... Insomma, per determinare $g(x)$ devi trovare l'estremo inferiore della successione di termine generale $e^(-nx)$.
Se $x=0$, allora la successione è identicamente $=1$, quindi $g(x)=1$.
Se $x>0$, allora la successione di termine generale $e^(-nx)$ è decrescente ed infinitesima (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Se invece $x<0$, allora la successione è crescente e non limitata superiormente (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Finisci tu.
Se $x=0$, allora la successione è identicamente $=1$, quindi $g(x)=1$.
Se $x>0$, allora la successione di termine generale $e^(-nx)$ è decrescente ed infinitesima (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Se invece $x<0$, allora la successione è crescente e non limitata superiormente (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Finisci tu.
"Gugo82":
Guada che $x$ lo devi ritenere fissato... Insomma, per determinare $g(x)$ devi trovare l'estremo inferiore della successione di termine generale $e^(-nx)$.
Se $x=0$, allora la successione è identicamente $=1$, quindi $g(x)=1$.
Se $x>0$, allora la successione di termine generale $e^(-nx)$ è decrescente ed infinitesima (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Se invece $x<0$, allora la successione è crescente e non limitata superiormente (perchè?) quindi $g(x)=\ldots$?
Finisci tu.
giusto la $x$ è fissata.ma comunque sia nei casi $x>0$ ed $x<0$ la funzione ha come estremo inferiore $0$.quindi consideriamo solamente il primo caso. Esatto?
Per $x<0$ non ne sono proprio sicuro sicuro, eh... Guarda bene.
Per $x<0$ in effetti hai $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ ed istintivamente non credo che sia $"inf"_(n \in NN) "e"^(n|x|)=0$, sbaglio?
Per $x<0$ in effetti hai $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ ed istintivamente non credo che sia $"inf"_(n \in NN) "e"^(n|x|)=0$, sbaglio?
"Gugo82":
Per $x<0$ non ne sono proprio sicuro sicuro, eh... Guarda bene.
Per $x<0$ in effetti hai $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ ed istintivamente non credo che sia $"inf"_(n \in NN) "e"^(n|x|)=0$, sbaglio?
$x<0$ si ha che:
$lim_(x to +infty) e^(nx) =+infty$
$lim_(x to -infty) e^(nx) =0$
perciò l'insieme non è limitato superiormente ma lo è inferiormente,esatto?e se lo fosse quale sarebbe l'estremo inferiore?
mentre per $x>0$ si ha:
$lim_(x to +infty) e^(-nx) =0$
$lim_(x to -infty) e^(-nx) =+infty$
quindi la funzione non ammette estremo inferiore giusto?
Gugo82 ha ragione.
Quando vai a calcolare il limite per x che tende a meno infinito, la funzione diverge positivamente:
$lim_{x->-\infty} e^(n|x|) = +\infty$
Il punto è: Quanto vale $"inf"_{n\in NN}{e^(-nx), x<0}$?
"Gugo82":
Per $x<0$ non ne sono proprio sicuro sicuro, eh... Guarda bene.
Per $x<0$ in effetti hai $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ ed istintivamente non credo che sia $"inf"_(n \in NN) "e"^(n|x|)=0$, sbaglio?
Quando vai a calcolare il limite per x che tende a meno infinito, la funzione diverge positivamente:
$lim_{x->-\infty} e^(n|x|) = +\infty$
Il punto è: Quanto vale $"inf"_{n\in NN}{e^(-nx), x<0}$?
"Mathematico":
Gugo82 ha ragione.
[quote="Gugo82"]Per $x<0$ non ne sono proprio sicuro sicuro, eh... Guarda bene.
Per $x<0$ in effetti hai $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ ed istintivamente non credo che sia $"inf"_(n \in NN) "e"^(n|x|)=0$, sbaglio?
Quando vai a calcolare il limite per x che tende a meno infinito, la funzione diverge positivamente:
$lim_{x->-\infty} e^(n|x|) = +\infty$
Il punto è: Quanto vale $"inf"_{n\in NN}{e^(-nx), x<0}$?[/quote]
ma non riesco a capire perchè diveta $e^(n|x|)$ come mai questo valore assoluto?
Senza ricorrere al valore assoluto, prova con questa sostituzione:
Poni $-t= x$ da cui $t=-x$, poichè x assume valori negativi ($x\in (\-infty, 0)$) allora t è positivo ($t\in (0, +\infty)$). La funzione si esprime quindi nella forma: $e^ (n t)$. Ora:
$lim_{x->-\infty} e^(-n*x)= lim_{t->+\infty} e^(n*t)$. Devi valutare l'inf dell'insieme ${e^(n*t), t>0}$ o meglio:
$"inf"_{n\in NN} {e^(n t), t>0}$. Spero di non aver scritto sciocchezze. Dopo cena la mia attenzione scema moltissimo.
Poni $-t= x$ da cui $t=-x$, poichè x assume valori negativi ($x\in (\-infty, 0)$) allora t è positivo ($t\in (0, +\infty)$). La funzione si esprime quindi nella forma: $e^ (n t)$. Ora:
$lim_{x->-\infty} e^(-n*x)= lim_{t->+\infty} e^(n*t)$. Devi valutare l'inf dell'insieme ${e^(n*t), t>0}$ o meglio:
$"inf"_{n\in NN} {e^(n t), t>0}$. Spero di non aver scritto sciocchezze. Dopo cena la mia attenzione scema moltissimo.
"Mathematico":
Senza ricorrere al valore assoluto, prova con questa sostituzione:
Poni $-t= x$ da cui $t=-x$, poichè x assume valori negativi ($x\in (\-infty, 0)$) allora t è positivo ($t\in (0, +\infty)$). La funzione si esprime quindi nella forma: $e^ (n t)$. Ora:
$lim_{x->-\infty} e^(-n*x)= lim_{t->+\infty} e^(n*t)$. Devi valutare l'inf dell'insieme ${e^(n*t), t>0}$ o meglio:
$"inf"_{n\in NN} {e^(n t), t>0}$. Spero di non aver scritto sciocchezze. Dopo cena la mia attenzione scema moltissimo.
bene il tuo ragionamento mi è molto chiaro.ora $"inf"$ di questo insieme esiste?
scusatemi ma io mi sto confondendo troppo. cerchiamo di fare un pò di chiarezza:
allora $g(x)="inf"{e^(-nx), AA n in NN}$
distinguiamo i tre casi:
Per $x=0$ Abbiamo: $g(x)=1$
Per $x>0$ Abbiamo: $e^(-nx)$ che è decrescente ed infinitesima. Infinitesima perchè $lim_(x to +infty) e^(-nx)=0$ e decrescente deducibile dallo studio della derivata prima.
Per $x<0$ Abbiamo: $e^(nx)$ crescente e non limitata superiormente. Non limita superiormente perchè $lim_(x to +infty) e^(nx)=+infty$.
Ora bisogna trovare gli estremi inferiori degl'insiemi nei due casi per $x>0$ ed $x<0$.
allora $g(x)="inf"{e^(-nx), AA n in NN}$
distinguiamo i tre casi:
Per $x=0$ Abbiamo: $g(x)=1$
Per $x>0$ Abbiamo: $e^(-nx)$ che è decrescente ed infinitesima. Infinitesima perchè $lim_(x to +infty) e^(-nx)=0$ e decrescente deducibile dallo studio della derivata prima.
Per $x<0$ Abbiamo: $e^(nx)$ crescente e non limitata superiormente. Non limita superiormente perchè $lim_(x to +infty) e^(nx)=+infty$.
Ora bisogna trovare gli estremi inferiori degl'insiemi nei due casi per $x>0$ ed $x<0$.
Scusate, ma non ci siamo capiti...
Qui $x<0$ è da considerarsi fissato. E l'estremo inferiore va fatto rispetto ad $n \in NN$.
Quindi non c'entra nulla né passare al limite per $x\to +-oo$, né andare a guardare cosa succede rispetto a $x$: è $n$ la variabile rispetto alla quale calcolare il valore di $g(x)$.
Ora, fissato $x<0$, abbiamo $-x=|x|$ (per definizione di valore assoluto); quindi $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ con $|x|>0$; la successione di termine generale $a_n="e"^(n|x|)$ è strettamente crescente, pertanto è:
$"inf"_(n\in NN) "e"^(n|x|)="e"^0=1$ oppure $"inf"_(n\in NN) "e"^(n|x|)="e"^(|x|)="e"^(-x)$
a seconda che consideri $0 \in NN$ oppure $0\notin NN$ (questo dipende dal prof di solito, non c'è una convenzione standard).
Quindi per $x<0$ risulta $g(x)=1$ oppure $g(x)="e"^(-x)$ (a seconda delle convenzioni utilizzate).
Qui $x<0$ è da considerarsi fissato. E l'estremo inferiore va fatto rispetto ad $n \in NN$.
Quindi non c'entra nulla né passare al limite per $x\to +-oo$, né andare a guardare cosa succede rispetto a $x$: è $n$ la variabile rispetto alla quale calcolare il valore di $g(x)$.
Ora, fissato $x<0$, abbiamo $-x=|x|$ (per definizione di valore assoluto); quindi $"e"^(-nx)="e"^(n|x|)$ con $|x|>0$; la successione di termine generale $a_n="e"^(n|x|)$ è strettamente crescente, pertanto è:
$"inf"_(n\in NN) "e"^(n|x|)="e"^0=1$ oppure $"inf"_(n\in NN) "e"^(n|x|)="e"^(|x|)="e"^(-x)$
a seconda che consideri $0 \in NN$ oppure $0\notin NN$ (questo dipende dal prof di solito, non c'è una convenzione standard).
Quindi per $x<0$ risulta $g(x)=1$ oppure $g(x)="e"^(-x)$ (a seconda delle convenzioni utilizzate).
e così si ha solamente un caso di studio di $f(x)$?
cioè: $f(x)=(x^4+|x|x^3+x)*1$
ps. il mio prof. considera $0$ non incluso in $NN$
cioè: $f(x)=(x^4+|x|x^3+x)*1$
ps. il mio prof. considera $0$ non incluso in $NN$
"mazzy89":
e così si ha solamente un caso di studio di $f(x)$?
cioè: $f(x)=(x^4+|x|x^3+x)*1$
ps. il mio prof. considera $0$ non incluso in $NN$
Ovviamente no.
Ricapitoliamo: è:
$g(x):=\{(0, ", se " x>0),(1, ", se " x=0),("e"^(-x) ,", se " x<0):}$
quindi:
$f(x):=(x^4+|x|x^3+x)*g(x)
$\quad =\{((x^4+|x|x^3+x)*0, ", se " x>0),(0*1, ", se " x=0),((x^4+|x|x^3+x)*"e"^(-x), ", se " x<0):}$
$\quad = \{(0, ", se " x>=0),(x*"e"^(-x), ", se " x<0):}$
Che te ne pare?
"Gugo82":
[quote="mazzy89"]e così si ha solamente un caso di studio di $f(x)$?
cioè: $f(x)=(x^4+|x|x^3+x)*1$
ps. il mio prof. considera $0$ non incluso in $NN$
Ovviamente no.
Ricapitoliamo: è:
$g(x):=\{(0, ", se " x>0),(1, ", se " x=0),("e"^(-x) ,", se " x<0):}$
quindi:
$f(x):=(x^4+|x|x^3+x)*g(x)
$\quad =\{((x^4+|x|x^3+x)*0, ", se " x>0),(0*1, ", se " x=0),((x^4+|x|x^3+x)*"e"^(-x), ", se " x<0):}$
$\quad = \{(0, ", se " x>=0),(x*"e"^(-x), ", se " x<0):}$
Che te ne pare?[/quote]
Mooooolto chiaro. Tu in questo caso hai considerato $0 notin NN$. Scusami Gugo82 ma il caso $x>0$ l'abbiamo tenuto in considerazione?Hai affermmato che per $x>0 g(x)=0$ ma credo di avermi perso il ragionamento che ti ha portato ad affermmare ciò
Studia la monotonia della successione $a_n="e"^(-nx)$ (con $x>0$ fissato) e ricorda che cosa succede all'esponenziale quando l'esponente va a $-oo$ (ricorda che, essendo $x>0$, si ha $lim_(n\to +oo) -nx=-oo$).
Mica posso fare tutto io?
Mi dispiace mollare la discussione qui, ma oggi parto e devo ancora preparare la valigia.
Tuttavia confido che gli altri sapranno darti una gran mano per risolvere la questione.
[OT]
Buone vacanze a tutti; ci vediamo fra un paio di settimane.
[/OT]
Mica posso fare tutto io?
Mi dispiace mollare la discussione qui, ma oggi parto e devo ancora preparare la valigia.
Tuttavia confido che gli altri sapranno darti una gran mano per risolvere la questione.
[OT]
Buone vacanze a tutti; ci vediamo fra un paio di settimane.
[/OT]
"Gugo82":
Studia la monotonia della successione $a_n="e"^(-nx)$ (con $x>0$ fissato) e ricorda che cosa succede all'esponenziale quando l'esponente va a $-oo$ (ricorda che, essendo $x>0$, si ha $lim_(n\to +oo) -nx=-oo$).
Mica posso fare tutto io?
Mi dispiace mollare la discussione qui, ma oggi parto e devo ancora preparare la valigia.
Tuttavia confido che gli altri sapranno darti una gran mano per risolvere la questione.
[OT]
Buone vacanze a tutti; ci vediamo fra un paio di settimane.
[/OT]
Nel caso $x>0$ il $lim_(n to +infty) e^(-nx)=0$ e $lim_(n to -infty) e^(-nx)=-infty$ ora mi calcolo la derivata prima della funzione.Ma la devo calcolare rispetto ad $x$ o rispetto ad $n$?
Vi prego di non farmi vagare in questo mare di dubbi.
Ma nuoooo...
Vuoi derivare rispetto ad $n$ che è una variabile discreta? E che senso avrebbe?
E poi perchè passi al limite per $n\to -oo$ se $n \in NN$?
Il caldo gioca brutti tiri. Si consiglia un po' di riposo ed un po' di mare.
Vuoi derivare rispetto ad $n$ che è una variabile discreta? E che senso avrebbe?
E poi perchè passi al limite per $n\to -oo$ se $n \in NN$?
Il caldo gioca brutti tiri. Si consiglia un po' di riposo ed un po' di mare.
"Gugo82":
Ma nuoooo...
Vuoi derivare rispetto ad $n$ che è una variabile discreta? E che senso avrebbe?
E poi perchè passi al limite per $n\to -oo$ se $n \in NN$?
Il caldo gioca brutti tiri. Si consiglia un po' di riposo ed un po' di mare.
Altro che mare..qui ci vuole uno stacco definitivo.
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