Studio di funzione con esponenziale e valore assoluto
Ciao ragazzi!
Mi aiutate a svolgere lo studio di questa funzione:
$(x+1)e^((2)/(3- |x|))$
Vi ringrazio in anticipo!
Mi aiutate a svolgere lo studio di questa funzione:
$(x+1)e^((2)/(3- |x|))$
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Ciao,
* qual è il dominio?
* limiti agli estremi del campo di esistenza? asintoti?
* segno?
* crescenza/decrescenza -> massimi/minimi?
* flessi?
Tu prova ad iniziare che noi ti seguiamo!
* qual è il dominio?
* limiti agli estremi del campo di esistenza? asintoti?
* segno?
* crescenza/decrescenza -> massimi/minimi?
* flessi?
Tu prova ad iniziare che noi ti seguiamo!
Per il dominio dovrei porre $3-|x|≠$0?
Esatto, quindi$$
|x|\ne 3 \Rightarrow x \ne \pm 3
$$Questo significa che il dominio è$$
(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)
$$
|x|\ne 3 \Rightarrow x \ne \pm 3
$$Questo significa che il dominio è$$
(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)
$$
A questo punto bisognerebbe scomporre la funzione?
Prova a seguire quella specie di scaletta che avevo postato: fai i limiti agli estremi del campo, quindi dovrai fare $6$ limiti:$$
-\infty, -3^-, -3^+, 3^-, 3^+, +\infty
$$
-\infty, -3^-, -3^+, 3^-, 3^+, +\infty
$$
Bene, però non riesco a capire come comportarmi con il modulo...
Beh, dipende dai casi... ad esempio$$
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
$$e questo ci porta a chiderci se ci sia un asintoto obliquo...
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
$$e questo ci porta a chiderci se ci sia un asintoto obliquo...
Forse non sono stato chiaro 
Per x che tende a meno infinito come considero la funzione con il modulo?
Per x che tende a meno infinito come considero la funzione con il modulo?
Se $x \to -\infty$ allora $|x| \to +\infty$, quindi l'esponente della $e$ tende a $0$, il secondo fattore tende a $1$ e quindi tutta la funzione tende a $-\infty$ come il primo fattore.
Analogamente a più infinito?
minomic scusami se insisto, ma non so proprio da dove partire...
minomic scusami se insisto, ma non so proprio da dove partire...
Sì esatto, con l'unica differenza che il primo fattore tende a $+\infty$ quindi il limite farà $+\infty$.
Poi passiamo ai quattro limiti con $-3$ e $3$. E' evidente che in tutti e quattro i casi il denominatore dell'esponente tenderà a zero, ma dovremo capire se tende a $0^+$ oppure a $0^-$ perchè questo cambia radicalmente le cose!
In particolare tenderà a $0^+$ se $|x| < 3$, cioè per $x \to -3^+, 3^-$. In questi casi l'esponente tenderà a $+\infty$, quindi il limite sarà $\infty$ con segno deciso dal primo fattore. Se invece l'esponente tende a $-\infty$ l'esponenziale tenderà a $0$, quindi il limite sarà $0$.
Poi passiamo ai quattro limiti con $-3$ e $3$. E' evidente che in tutti e quattro i casi il denominatore dell'esponente tenderà a zero, ma dovremo capire se tende a $0^+$ oppure a $0^-$ perchè questo cambia radicalmente le cose!
In particolare tenderà a $0^+$ se $|x| < 3$, cioè per $x \to -3^+, 3^-$. In questi casi l'esponente tenderà a $+\infty$, quindi il limite sarà $\infty$ con segno deciso dal primo fattore. Se invece l'esponente tende a $-\infty$ l'esponenziale tenderà a $0$, quindi il limite sarà $0$.
Quindi abbiamo un asintoto verticale per x che tende a -3 ,un asintoto verticale per x che tende a 3 e non abbiamo asintoti orizzontali?
Sì esatto! Devi però vedere se ci sono asintoti obliqui.
y=e è asintoto obliquo?
Veramente $y=e$ è una retta orizzontale... 
Hai ragione, ci rinuncio...
No, questo no! Dammi qualche minuto che scrivo il procedimento per $-\infty$ e poi tu provi per $+\infty$
Dammi qualche minuto che scrivo il procedimento per $-\infty$ e poi tu provi per $+\infty$
Immagino tu sappia che l'asintoto obliquo assume la forma $y = mx + q$ dove$$
m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \qquad q = \lim_{x \to \infty} \left[f(x) - mx\right]
$$Quindi cominciamo a trovare la $m$:$$
m = \lim_{x \to -\infty} \frac{\left(x+1\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}}{x} = 1.
$$Ora la $q$:$$
q = \lim_{x \to -\infty} \left[\left(x+1\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}-x\right]
$$Qualche passaggio:$$
\lim_{x \to -\infty}\left[x\left(e^{\frac{2}{3+x}} - 1\right) + e^{\frac{2}{3+x}}\right] = \lim_{x \to -\infty} \left[x\left(e^{\frac{2}{3+x}} - 1\right)\right] + \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{2}{3+x}}
$$Mi concentro sul primo perchè il secondo è immediato. Applico l'Hopital:$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{3+x}}-1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{3+x}} \left[-\frac{2}{\left(3+x\right)^{2}}\right]}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2}}{\left(3+x\right)^{2}} e^{\frac{2}{3+x}} = 2
$$L'altro limite, quello immediato, era $1$ quindi $q = 2+1=3$.
Concludiamo che $y = x+3$ è l'asintoto obliquo cercato.
m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \qquad q = \lim_{x \to \infty} \left[f(x) - mx\right]
$$Quindi cominciamo a trovare la $m$:$$
m = \lim_{x \to -\infty} \frac{\left(x+1\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}}{x} = 1.
$$Ora la $q$:$$
q = \lim_{x \to -\infty} \left[\left(x+1\right) e^{\frac{2}{3-|x|}}-x\right]
$$Qualche passaggio:$$
\lim_{x \to -\infty}\left[x\left(e^{\frac{2}{3+x}} - 1\right) + e^{\frac{2}{3+x}}\right] = \lim_{x \to -\infty} \left[x\left(e^{\frac{2}{3+x}} - 1\right)\right] + \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{2}{3+x}}
$$Mi concentro sul primo perchè il secondo è immediato. Applico l'Hopital:$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{3+x}}-1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{3+x}} \left[-\frac{2}{\left(3+x\right)^{2}}\right]}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2}}{\left(3+x\right)^{2}} e^{\frac{2}{3+x}} = 2
$$L'altro limite, quello immediato, era $1$ quindi $q = 2+1=3$.
Concludiamo che $y = x+3$ è l'asintoto obliquo cercato.
Grazie davvero minomic! Dal momento che per x che tendeva a più/meno infinito la f tendeva a più infinito possiamo dunque dedurre che l'asintoto obliquo vale aanche per x che tende a più infinito?
In generale no perchè gli asintoti obliqui potrebbero essere differenti. Dobbiamo guardare se in qualche modo abbiamo utilizzato questa "informazione" del $-\infty$ e se sarebbe cambiato qualcosa nel caso di $+\infty$. Effettivamente qualcosa c'è! Nel limite per trovare la $m$ no, ma in quello per la $q$ abbiamo sostituito $... -|x|$ con $...+x$ perchè sicuri che la $x$ fosse negativa. Se così non fosse dovremmo scrivere $...-x$ e questo cambierebbe il segno della derivata. Conclusione: il limite per la $q$ è da rifare!
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