Studio di funzione
Nel recente compito ho incontrato questo testo, ed ho svolto solo alcuni punti però per il resto non ho saputo mettere mani. Ecco il testo e quello che ho saputo fare (se è giusto):
$f(x,y) = ([ln(x+1)]^3)/(ln(y-1))$
1. Determinare il campo di esistenza, specificando se è un insieme aperto e/o chiuso, limitato, connesso;
2. Studiarne il segno, determinando l'insieme degli zeri;
3. Determinare le curve di livello;
4. Determinare la derivata dirzionale nel punto (1,3) lungo la direzione parallela alla prima bisettrice degli assi nel verso delle x crescenti;
5. Determinare e classificare gli eventuali punti stazionari.
(il professore non è stato clemente)..
Nello studio del segno qualcosa non mi torna e l'insieme degli zeri io la interpreto come esistenza degli zeri... è corretto?
Nei punti stazionari nel sistema non mi appare la y! non i posso trovare i punti! Comunque qui vorrei un vostro parere... Io ho applicato la formula del rapporto per fare la derivata considerando la y come una costante in fx, infatti il risultato della derivata è corretta. Il problema nasce quando il professore mi corregge il compito! Lui dice che io sbaglio, che non si applica la formula del rapporto, poi quando va a fare sta derivata il risultato è identico al mio! Bho.... illuminatemi se potete
I punti che proprio non ho saputo fare sono il 3 e il 4.....
$f(x,y) = ([ln(x+1)]^3)/(ln(y-1))$
1. Determinare il campo di esistenza, specificando se è un insieme aperto e/o chiuso, limitato, connesso;
2. Studiarne il segno, determinando l'insieme degli zeri;
3. Determinare le curve di livello;
4. Determinare la derivata dirzionale nel punto (1,3) lungo la direzione parallela alla prima bisettrice degli assi nel verso delle x crescenti;
5. Determinare e classificare gli eventuali punti stazionari.
(il professore non è stato clemente)..
Nello studio del segno qualcosa non mi torna e l'insieme degli zeri io la interpreto come esistenza degli zeri... è corretto?
Nei punti stazionari nel sistema non mi appare la y! non i posso trovare i punti! Comunque qui vorrei un vostro parere... Io ho applicato la formula del rapporto per fare la derivata considerando la y come una costante in fx, infatti il risultato della derivata è corretta. Il problema nasce quando il professore mi corregge il compito! Lui dice che io sbaglio, che non si applica la formula del rapporto, poi quando va a fare sta derivata il risultato è identico al mio! Bho.... illuminatemi se potete
I punti che proprio non ho saputo fare sono il 3 e il 4.....
Risposte
Mi pare che tu abbia fatto un errore già nel campo di esistenza: le condizioni da imporre sono le seguenti
[tex]$x+1>0,\qquad y-1>0,\qquad \ln(y-1)\neq 0$[/tex]
per cui il dominio risulta l'insieme [tex]$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x>-1,\ y>1,\ y\ne 2\}$[/tex]
[tex]$x+1>0,\qquad y-1>0,\qquad \ln(y-1)\neq 0$[/tex]
per cui il dominio risulta l'insieme [tex]$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x>-1,\ y>1,\ y\ne 2\}$[/tex]
si c'e un errore.... quello che hai scritto è corretto!
Bene, andiamo avanti. Questo insieme secondo te come è? Aperto, chiuso, limitato, illimitato, ecc...
aperto illimitato... lo avevo scritto...
E riguardo l'essere o meno connesso?
Per il segno poi stai di nuovo sbagliando: visto che per trovare quando $f(x,y)>0$ devi studiare una frazione che dipende da due variabili, la condizione che devi imporre è che numeratore e denominatore abbiano segni concordi. Questo implica studiare i due sistemi seguenti:
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
[\log(x+1)]^3>0\\ \log(y-1)>0
\end{array}\right.\qquad\qquad \left\{\begin{array}{l}
[\log(x+1)]^3<0\\ \log(y-1)<0
\end{array}\right.$[/tex]
le cui soluzioni risultano rispettivamente [tex]$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x>0,\ y>2\},\qquad B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x<0,\ y<2\}$[/tex]
Prova a fare il grafico del dominio e degli insiemi di positività, e ti accorgerai che ci sono pezzi in cui la funzione è negativa. Per gli zeri, basta risolvere [tex]$[\log(x+1)]^3=0$[/tex], per cui la funzione si annulla su tutto l'insieme [tex]$\{x=0\}\cap D$[/tex]
Per il segno poi stai di nuovo sbagliando: visto che per trovare quando $f(x,y)>0$ devi studiare una frazione che dipende da due variabili, la condizione che devi imporre è che numeratore e denominatore abbiano segni concordi. Questo implica studiare i due sistemi seguenti:
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
[\log(x+1)]^3>0\\ \log(y-1)>0
\end{array}\right.\qquad\qquad \left\{\begin{array}{l}
[\log(x+1)]^3<0\\ \log(y-1)<0
\end{array}\right.$[/tex]
le cui soluzioni risultano rispettivamente [tex]$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x>0,\ y>2\},\qquad B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x<0,\ y<2\}$[/tex]
Prova a fare il grafico del dominio e degli insiemi di positività, e ti accorgerai che ci sono pezzi in cui la funzione è negativa. Per gli zeri, basta risolvere [tex]$[\log(x+1)]^3=0$[/tex], per cui la funzione si annulla su tutto l'insieme [tex]$\{x=0\}\cap D$[/tex]
ho fatto l'insieme di positività e mi viene tt positivo...sbaglio qualcosa... per l'insieme degli 0 mi viene come il tuo risultato...
puoi mostrarmi il modo corretto per trovarmi la positivà nel grafico? io utilizzo gli assi e metto i segni + e -
domanda: lo studio lo fatto sempre >0 devo sempre farlo con entrambi i segni?
puoi mostrarmi il modo corretto per trovarmi la positivà nel grafico? io utilizzo gli assi e metto i segni + e -
domanda: lo studio lo fatto sempre >0 devo sempre farlo con entrambi i segni?
Mi sa che non hai capito cosa intendo: per verificare se $N/D >0$, visto che non hai delle equazioni in una sola variabile, dovrai controllare i casi in cui i segni di numeratore e denominatore sono concordi, per cui risolvere due sistemi che sono rispettivamente $N>0, D>0$ e $N<0, D<0$. Non risulta tutto positivo: Il dominio, se noti, viene spezzato in 2 parti dalla retta $y=2$ (e quindi non è connesso). Se consideri il dominio spezzato in 4 dalla retta di prima e dall'asse delle y, ottieni che la funzione è positiva nei settori in alto a destra e in basso a sinistra e negativa negli altri due. Sull'asse delle y, invece la funzione si annulla.
vediamo se ho capito bene... Quando si tratta di funzioni a più variabili bisogna sutdiare N e D sia $ >0 $che $<0$.
Mentre per il grafico non riesco ad ottenere il tuo risultato...faccio qualche errore
Mentre per il grafico non riesco ad ottenere il tuo risultato...faccio qualche errore
Scusate se riporto il thread su, ma questo esercizio l'ho trovato nel compito di analisi 2 e mi sono un attimo perso...specialmente nei punti che non ho fatto.
Allora, continui a non capire. Facciamo in modo più semplice: in che caso se fai il rapporto tra due numeri ottieni un numero positivo?
si scusami, ma non sono molto ferrato... Comunque nel caso in cui i segni siano concordi....
Oki, ecco perché devi risolvere due sistemi: quello in cui i segni sono entrambi positivi, sia quello in cui sono entrambi negativi. Per il grafico, vedo di attrezzarmi e te lo posto.
Comunque, andiamo avanti. Mi pare che il terzo punto riguardasse le curve di livello, giusto?
Comunque, andiamo avanti. Mi pare che il terzo punto riguardasse le curve di livello, giusto?
si, li non so mettere comlpetamente mani. Solitamente mi trovo l'equazione e mi assegno una costante z o quoto.... ma è meglio che dimentichi tutto...
Per le curve di livello, basta porre $f(x,y)=c,\ c\in\mathbb{R}$ e cercare di riportare le cose ad una forma adeguata. In questo caso hai
[tex]$\frac{\log(x+1)}{\log(y-1)}=c\ \Rightarrow\ \log(x+1)=c\cdot\log(y-1)$[/tex]
ora usa la relazione $\log a^b=b\cdot\log a$ per ottenere
[tex]$\log(x+1)=\log(y-1)^c\ \Rightarrow\ x+1=(y-1)^c$[/tex]
per cui le curve di livello sono le funzioni [tex]$x=(y-1)^c-1$[/tex] definite per $y>1$.
[tex]$\frac{\log(x+1)}{\log(y-1)}=c\ \Rightarrow\ \log(x+1)=c\cdot\log(y-1)$[/tex]
ora usa la relazione $\log a^b=b\cdot\log a$ per ottenere
[tex]$\log(x+1)=\log(y-1)^c\ \Rightarrow\ x+1=(y-1)^c$[/tex]
per cui le curve di livello sono le funzioni [tex]$x=(y-1)^c-1$[/tex] definite per $y>1$.
capito! ... dico la verità, nel compito quel cubo mi ha mandato in palla 
Cubo?????
EDIT: ah sì, scusa, me lo ero dimenticato. Rimedio subito!
La risoluzione corretta è questa:
[tex]$[\log(x+1)]^3=c\log(y-1)\ \Rightarrow\ \log(y-1)=\frac{1}{c}\cdot[\log(x+1)]^3$[/tex]
e quindi
[tex]$y-1=e^{[\log(x+1)]^3/c}\ \Rightarrow\ y=e^{[\log(x+1)]^3/c}+1$[/tex]
EDIT: ah sì, scusa, me lo ero dimenticato. Rimedio subito!
La risoluzione corretta è questa:
[tex]$[\log(x+1)]^3=c\log(y-1)\ \Rightarrow\ \log(y-1)=\frac{1}{c}\cdot[\log(x+1)]^3$[/tex]
e quindi
[tex]$y-1=e^{[\log(x+1)]^3/c}\ \Rightarrow\ y=e^{[\log(x+1)]^3/c}+1$[/tex]
ma lascio indicato quel risultato?
Sì, l'ultimo che ho scritto è l'espressione generale per le curve di livello (ovviamente con $c\ne 0$). Se $c=0$ basta risolvere l'equazione $[\log(x+1)]^3=0$ che fornisce come soluzione la retta $x=0$.
capito, grazie..... per gli altri 2 punti sai dirmi qualcosa?
Allora, per il punto 4, ciò che bisogna determinare per prima cosa è la direzione in cui calcolare la derivata direzionale. La bisettrice del primo e terzo quadrante ha equazione $y=x$, per cui un suo vettore direzione, nella direzione delle $x$ crescenti, risulta $v=(1,1)$. Visto che per il calcolo della derivata direzionale va usato un vettore unitario, essendo $|v|=\sqrt{2}$, useremo il vettore normalizzato $u=v/{|v|}=(1/{\sqrt{2}},1/{\sqrt{2}})$. A questo punto calcola le derivate parziali:
[tex]$f_x(1,3)=\frac{3[\log(x+1)]^2\cdot \frac{1}{x+1}}{\log(y-1)}\Big|_{(1,3)}=\frac{3\log^2 2}{2\log 2}=\frac{3}{2}\log 2$[/tex]
[tex]$f_y(1,3)=-\frac{[\log(x+1)]^3}{[\log(y-1)]^2\cdot(y-1)}\Big|_{(1,3)}=-\frac{\log^3 2}{2\log^2 2}=-\frac{1}{2}\log 2$[/tex]
per cui
[tex]$\frac{\partial f}{\partial u}(1,3)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot f_x(1,3)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot f_y(1,3)=\frac{1}{\sqrt{2}}\log 2=\frac{\sqrt{2}}{2}\log 2$[/tex]
Per il punto 5, invece, avendo già calcolato le derivate parziali, basta risolvere per prima cosa il sistema di equazioni [tex]$f_x(x,y)=0,\ f_y(x,y)=0$[/tex]. Esso si riduce alle due equazioni [tex]$[\log(x+1)]^2=0,\ [\log(x+1)]^3=0$[/tex] le cui soluzioni risultano i punti della forma [tex]$(0,y),\ y>1,\ y\ne 2$[/tex].
Calcoliamo l'Hessiana: poiché
[tex]$f_x(x,y)=\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)\log(y-1)},\qquad f_y(x,y)=-\frac{[\log(x+1)]^3}{(y-1)[\log(y-1)]^2}$[/tex]
abbiamo
[tex]$f_{xx}(x,y)=-\frac{3\log(x+1)\cdot[\log(x+1)-2]}{(x+1)^2\log(y-1)},\ f_{xy}(x,y)=-\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)(y-1)[\log(y-1)]^2},\ f_{yy}(x,y)=\frac{[\log(x+1)]^3\cdot[2+\log(y-1)]}{(y-1)^2\cdot[\log(y-1)]^3}$[/tex]
Tutte le derivate risultano annullarsi nei punti stazionari, per cui non puoi immediatamente concludere sulla natura dei punti. Tuttavia puoi procedere così: per quanto visto in precedenze, la funzione cambia segno passando da destra a sinistra della retta $x=0$ (lo hai determinato calcolando il segno). Questo ti dice che, dal momento che $f(0,y)=0$, allora tali punti rappresentano il luogo degli zeri della funzione, con piano tangente parallelo al piano $xOy$ (sono anche punti stazionari). Per analogia con il caso delle funzioni di una variabile, in cui se hai derivata prima e seconda pari a zero ottieni un punto di flesso a tangente orizzontale, qui otterrai dei punti... ?
[tex]$f_x(1,3)=\frac{3[\log(x+1)]^2\cdot \frac{1}{x+1}}{\log(y-1)}\Big|_{(1,3)}=\frac{3\log^2 2}{2\log 2}=\frac{3}{2}\log 2$[/tex]
[tex]$f_y(1,3)=-\frac{[\log(x+1)]^3}{[\log(y-1)]^2\cdot(y-1)}\Big|_{(1,3)}=-\frac{\log^3 2}{2\log^2 2}=-\frac{1}{2}\log 2$[/tex]
per cui
[tex]$\frac{\partial f}{\partial u}(1,3)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot f_x(1,3)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot f_y(1,3)=\frac{1}{\sqrt{2}}\log 2=\frac{\sqrt{2}}{2}\log 2$[/tex]
Per il punto 5, invece, avendo già calcolato le derivate parziali, basta risolvere per prima cosa il sistema di equazioni [tex]$f_x(x,y)=0,\ f_y(x,y)=0$[/tex]. Esso si riduce alle due equazioni [tex]$[\log(x+1)]^2=0,\ [\log(x+1)]^3=0$[/tex] le cui soluzioni risultano i punti della forma [tex]$(0,y),\ y>1,\ y\ne 2$[/tex].
Calcoliamo l'Hessiana: poiché
[tex]$f_x(x,y)=\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)\log(y-1)},\qquad f_y(x,y)=-\frac{[\log(x+1)]^3}{(y-1)[\log(y-1)]^2}$[/tex]
abbiamo
[tex]$f_{xx}(x,y)=-\frac{3\log(x+1)\cdot[\log(x+1)-2]}{(x+1)^2\log(y-1)},\ f_{xy}(x,y)=-\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)(y-1)[\log(y-1)]^2},\ f_{yy}(x,y)=\frac{[\log(x+1)]^3\cdot[2+\log(y-1)]}{(y-1)^2\cdot[\log(y-1)]^3}$[/tex]
Tutte le derivate risultano annullarsi nei punti stazionari, per cui non puoi immediatamente concludere sulla natura dei punti. Tuttavia puoi procedere così: per quanto visto in precedenze, la funzione cambia segno passando da destra a sinistra della retta $x=0$ (lo hai determinato calcolando il segno). Questo ti dice che, dal momento che $f(0,y)=0$, allora tali punti rappresentano il luogo degli zeri della funzione, con piano tangente parallelo al piano $xOy$ (sono anche punti stazionari). Per analogia con il caso delle funzioni di una variabile, in cui se hai derivata prima e seconda pari a zero ottieni un punto di flesso a tangente orizzontale, qui otterrai dei punti... ?
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