Studio di funzione

[oGladiatore]

Nel recente compito ho incontrato questo testo, ed ho svolto solo alcuni punti però per il resto non ho saputo mettere mani. Ecco il testo e quello che ho saputo fare (se è giusto):

$f(x,y) = ([ln(x+1)]^3)/(ln(y-1))$

1. Determinare il campo di esistenza, specificando se è un insieme aperto e/o chiuso, limitato, connesso;
2. Studiarne il segno, determinando l'insieme degli zeri;
3. Determinare le curve di livello;
4. Determinare la derivata dirzionale nel punto (1,3) lungo la direzione parallela alla prima bisettrice degli assi nel verso delle x crescenti;
5. Determinare e classificare gli eventuali punti stazionari.

(il professore non è stato clemente)..




Nello studio del segno qualcosa non mi torna e l'insieme degli zeri io la interpreto come esistenza degli zeri... è corretto?
Nei punti stazionari nel sistema non mi appare la y! non i posso trovare i punti! Comunque qui vorrei un vostro parere... Io ho applicato la formula del rapporto per fare la derivata considerando la y come una costante in fx, infatti il risultato della derivata è corretta. Il problema nasce quando il professore mi corregge il compito! Lui dice che io sbaglio, che non si applica la formula del rapporto, poi quando va a fare sta derivata il risultato è identico al mio! Bho.... illuminatemi se potete

I punti che proprio non ho saputo fare sono il 3 e il 4.....

[oGladiatore]

"ciampax":

[tex]$f_x(1,3)=\frac{3[\log(x+1)]^2\cdot \frac{1}{x+1}}{\log(y-1)}\Big|_{(1,3)}=\frac{3\log^2 2}{2\log 2}=\frac{3}{2}\log 2$[/tex]

[tex]$f_y(1,3)=-\frac{[\log(x+1)]^3}{[\log(y-1)]^2\cdot\frac{1}{y-1}}\Big|_{(1,3)}=-\frac{2\log^3 2}{\log^2 2}=-2\log 2$[/tex]

Svolgendo la prima derivata in x mi viene come il tuo risultato, ma fy mi risulta così:

$(-[ln(x+1)]^3*(1)/(y-1))/([ln(y-1)]^2) = - (1/2)*ln2$

[ciampax]

Ah sì, scusa, stavo a fare la derivata trascurando il fatto che la funzione in cui compare la y sta al denominatore e poi quando ho scritto mi sono dimenticato di toglierla dalla seconda frazione! Le derivate seconde sono quelle che ho scritto. Modificato.

[oGladiatore]

"ciampax":Tutte le derivate risultano annullarsi nei punti stazionari, per cui non puoi immediatamente concludere sulla natura dei punti.

Il calcolo dei punti stazionari lo avevo fatto nei fogli che ho postato e alla fine arrivavo a un punto morto... intendi dire questo?

"ciampax":Questo ti dice che, dal momento che $f(0,y)=0$, allora tali punti rappresentano il luogo degli zeri della funzione, con piano tangente parallelo al piano $xOy$ (sono anche punti stazionari). Per analogia con il caso delle funzioni di una variabile, in cui se hai derivata prima e seconda pari a zero ottieni un punto di flesso a tangente orizzontale, qui otterrai dei punti... ?

Intuisco che otterro dei punti di flesso..

"ciampax":Per il punto 5, invece, avendo già calcolato le derivate parziali, basta risolvere per prima cosa il sistema di equazioni [tex]$f_x(x,y)=0,\ f_y(x,y)=0$[/tex]. Esso si riduce alle due equazioni [tex]$[\log(x+1)]^2=0,\ (y-1)[\log(x+1)]^3=0$[/tex] le cui soluzioni risultano i punti della forma [tex]$(0,y),\ y>1,\ y\ne 2$[/tex].
Calcoliamo l'Hessiana: poiché

[tex]$f_x(x,y)=\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)\log(y-1)},\qquad f_y(x,y)=-\frac{(y-1)[\log(x+1)]^3}{[\log(y-1)]^2}$[/tex]

abbiamo

[tex]$f_{xx}(x,y)=-\frac{3\log(x+1)\cdot[\log(x+1)-2]}{(x+1)^2\log(y-1)},\qquad f_{xy}(x,y)=-\frac{3[\log(x+1)]^2}{(x+1)(y-1)[\log(y-1)]^2},\qquad f_{yy}(x,y)=\frac{[\log(x+1)]^3\cdot[2\log(y-1)]}{(y-1)^2\cdot[\log(y-1)]^3}$[/tex]

qualcosa non mi torna

le equazioni mi vengono differenti e la y appunto non appare proprio per questo avevo il dubbio...

[ciampax]

Le derivate sono giuste, le ho ricontrollate. Per quanto riguarda il punto morto a cui eri arrivato, sarà stato esattamente questo, e cioè trovare tutte le derivate seconde nulle lunga la retta $x=0$. Quelli che ottieni sono effettivamente dei flessi nel caso tu percorra la superficie lungo le direzioni parallele all'asse delle ascisse.