Studio di funzione

[zerbo1000]

bene,

ora

$f(x)= 3x^2-alog(x)$

determinare i valori di $a$ per cui $f$ è invertibile e calcolare ,per tali $a$ ,$f^(-1)'(3)$

gli $a$ sono tutti gli $a<0$

perchè per $a>=0$ abbiamo una funzione, non biettiva,non invertibile

ora

coma faccio ad invertire questa $f(x)$?
tra il quadrato e la somma di un polinomio per un logaritmo non saprei proprio come fare

[zerbo1000]

"TeM":Fissato \(a \ne 0\), la funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x) := 3\,x^2 - a\,\log x \] è indubbio che abbia come dominio l'intervallo \[ I_f := \left\{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right\} \] ed ivi risulti continua, dato che ogni funzione elementare è continua nel proprio insieme di definizione.

Dunque, ricordando il teorema secondo cui una funzione continua su un intervallo è invertibile se e soltanto se in tale
intervallo risulta strettamente monotona, semplici conticini mostrano che ciò è verificato se e soltanto se \(a < 0\).

Ciò detto, sono d'accordo con te sul fatto che sia problematico invertire algebricamente tale funzione, ma l'esercizio
non lo richiede! Infatti, una volta assodata l'invertibilità, ricordando che il grafico dell'inversa è simmetrico, rispetto
alla bisettrice del primo e terzo quadrante, del grafico della funzione in esame, osservando che \(f(1) = 3\) segue che
\(f^{-1}(3) = 1\), come richiesto.

Spero sia sufficientemente chiaro.

cavolo ho scritto male, devo trovare $f^(-1)'(3)$, la derivata di $f^(-1)(3)$