Studio di funzione
Salve a tutti stavo svolgendo il seguente studio di funzione:
$1/(1-2Senx)exp(1/(2Senx-1))$
E in particolare stavo facendo lo studio della derivata prima per trovare massimi e minimi, e qui sorgono i primi problemi:
ho calcolato la derivata prima:
$[e^(1/(2sinx-1))2cosx(1+1/(2sinx-1))]/(1-2sinx)^2$
e l' ho posta $f'(x)>=0$ e da qui ho trovato che la funzione è crescente in $]pi/6, pi/2] $ U $]5pi/6, pi]$ U $[3pi/2, 2pi[$
e come massimi relativi trovo $Max=0,pi/2, pi,2pi$, come minimi relativi $min=pi/6, 5pi/6, 3pi/2$
invece il libro trova che è crescente da $]pi/6, pi/2[ $ U $]5pi/6, pi[$ U $]3pi/2, 2pi[$ , come massimi assoluti $MAX=0,pi,2pi$ ; come massimo relativo $pi/2$ e come minimo relativo $3pi/2$.
Non riesco a capire dove sbaglio qualcuno saprebbe aiutarmi? inoltre volevo sapere come individuare eventuali punti di flesso senza l' uso della derivata seconda. Grazie mille in anticipo a tutti!
$1/(1-2Senx)exp(1/(2Senx-1))$
E in particolare stavo facendo lo studio della derivata prima per trovare massimi e minimi, e qui sorgono i primi problemi:
ho calcolato la derivata prima:
$[e^(1/(2sinx-1))2cosx(1+1/(2sinx-1))]/(1-2sinx)^2$
e l' ho posta $f'(x)>=0$ e da qui ho trovato che la funzione è crescente in $]pi/6, pi/2] $ U $]5pi/6, pi]$ U $[3pi/2, 2pi[$
e come massimi relativi trovo $Max=0,pi/2, pi,2pi$, come minimi relativi $min=pi/6, 5pi/6, 3pi/2$
invece il libro trova che è crescente da $]pi/6, pi/2[ $ U $]5pi/6, pi[$ U $]3pi/2, 2pi[$ , come massimi assoluti $MAX=0,pi,2pi$ ; come massimo relativo $pi/2$ e come minimo relativo $3pi/2$.
Non riesco a capire dove sbaglio qualcuno saprebbe aiutarmi? inoltre volevo sapere come individuare eventuali punti di flesso senza l' uso della derivata seconda. Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Piccola osservazione: possiamo scrivere la funzione così $f(t)=t e^{-t}$ essendo $t=1/{1-2\sin x}$. Pertanto:
$$f'(t)=(e^{-t}-t e^{-t})\cdot t'=e^{-t}(1-t)\cdot\frac{2\cos x}{(1-2\sin x)^2}=e^{1/(2\sin x-1)}\cdot\frac{-4\sin x \cos x}{(1-2\sin x)^3}$$
Visto che l'esponenziale è sempre positiva, il tutto si riduce a risolvere la disequazione $\frac{4\sin x\cos x}{(2\sin x-1)^3}\ge 0$. Abbiamo
$$N:\ 4\sin x\cos x\ge 0\ \Rightarrow\ 2\sin(2x)\ge 0\ \Rightarrow\ 2k\pi\le 2x\le\pi+2k\pi\ \Rightarrow\ k\pi\le x\le \frac{\pi}{2}+k\pi$$
per cui la soluzione $x\in[0,\pi/2]\cup[\pi,3\pi/2]$. Inoltre
$$D:\ 2\sin x-1>0\ \Rightarrow\ \sin x>\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \frac{\pi}{6}< x< \frac{5\pi}{6}$$
Mettendo insieme le due, ricavi che la derivata è positiva per
$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$$
e si annulla in $x\in\{0,\ \pi/2,\ \pi,\ {3\pi}/2,\ 2\pi\}$.
Ti faccio presente che i punti dove la derivata si annulla sono stazionari, mentre quelli in cui si annulla il denominatore sono punti in cui la funzione non è definita (hai calcolato i limiti? A te sembra che il valore "meno infinito" possa essere un minimo)? Ragionare, prima di scrivere stupidate è una buona pratica!
$$f'(t)=(e^{-t}-t e^{-t})\cdot t'=e^{-t}(1-t)\cdot\frac{2\cos x}{(1-2\sin x)^2}=e^{1/(2\sin x-1)}\cdot\frac{-4\sin x \cos x}{(1-2\sin x)^3}$$
Visto che l'esponenziale è sempre positiva, il tutto si riduce a risolvere la disequazione $\frac{4\sin x\cos x}{(2\sin x-1)^3}\ge 0$. Abbiamo
$$N:\ 4\sin x\cos x\ge 0\ \Rightarrow\ 2\sin(2x)\ge 0\ \Rightarrow\ 2k\pi\le 2x\le\pi+2k\pi\ \Rightarrow\ k\pi\le x\le \frac{\pi}{2}+k\pi$$
per cui la soluzione $x\in[0,\pi/2]\cup[\pi,3\pi/2]$. Inoltre
$$D:\ 2\sin x-1>0\ \Rightarrow\ \sin x>\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \frac{\pi}{6}< x< \frac{5\pi}{6}$$
Mettendo insieme le due, ricavi che la derivata è positiva per
$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$$
e si annulla in $x\in\{0,\ \pi/2,\ \pi,\ {3\pi}/2,\ 2\pi\}$.
Ti faccio presente che i punti dove la derivata si annulla sono stazionari, mentre quelli in cui si annulla il denominatore sono punti in cui la funzione non è definita (hai calcolato i limiti? A te sembra che il valore "meno infinito" possa essere un minimo)? Ragionare, prima di scrivere stupidate è una buona pratica!
ok grazie cercherò di ragionarci di più la prossima volta
La mia non voleva essere un'offesa, ma un avvertimento: tu stesso, in un post simile, hai notato come fosse fatto il dominio ecc. Se poi non usi le cose che conosci e, soprattutto, tendi a fare errori stupidi come questo (considerare punti di non continuità nella derivabilità) dai l'impressione di non avere assolutamente chiari i concetti fondamentali sui grafici di funzione.
"ciampax":
La mia non voleva essere un'offesa, ma un avvertimento: tu stesso, in un post simile, hai notato come fosse fatto il dominio ecc. Se poi non usi le cose che conosci e, soprattutto, tendi a fare errori stupidi come questo (considerare punti di non continuità nella derivabilità) dai l'impressione di non avere assolutamente chiari i concetti fondamentali sui grafici di funzione.
nono tranquillo non mi sono offeso e hai ragione tendo a ragionarci su poco e a fare errori di distrazione. Grazie ancora per la risposta
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