Studio di funzione
Salve a tutti,
all'esame di matematica devo fare lo studio di funzione. Questo è un esempio di funzione:
$y=sqrt((e^3x+1)-3x-7)
Gentilmente potreste risolverla?E' come se fosse formata da due funzioni..
al liceo lo studio di una funzione lo sapevo fare.. c'è qualcosa che mi blocca in questa tipologia. A breve ho l'esame però e non so a chi chiedere aiuto.
Vi sarei molto grata se mi aiutaste..
all'esame di matematica devo fare lo studio di funzione. Questo è un esempio di funzione:
$y=sqrt((e^3x+1)-3x-7)
Gentilmente potreste risolverla?E' come se fosse formata da due funzioni..
al liceo lo studio di una funzione lo sapevo fare.. c'è qualcosa che mi blocca in questa tipologia. A breve ho l'esame però e non so a chi chiedere aiuto. Vi sarei molto grata se mi aiutaste..
Risposte
"Miry93":
$y=sqrt((e^3x+1)-3x-7)$
La tua scrittura mi lascia perplesso (ho aggiunto un simbolo di dollaro): cioè c'è quella doppia parentesi che mi fa pensare a diverse formulazioni o magari un errore di battitura.
Cioè hai scritto
$y=sqrt((e^3x+1)-3x-7)$
che è equivalente (perché la doppia parentesi non serve) a
$y=sqrt(e^3x+1-3x-7)$
ma quella doppia parentesi mi può far pensare a una svista, quindi alla funzione
$y=sqrt(e^(3x+1)-3x-7)$
quest'ultima motivata dalle tue parole (dici "è come se fosse formata da due funzioni").
Ho sbagliato a mettere quella partentesi.. comunque è l'ultima funzione che hai scritto. Grazie già per l'interessamento..
"Miry93":
Grazie già per l'interessamento..
Niente, non preoccuparti, comunque allora la funzione è
$y=\sqrt(e^(3x+1)-3x-7)$.
Inizia con il calcolarti il dominio: in questo caso non è semplice perché il radicando è una funzione composta da un termine trascendente e un polinomio (di primo grado).
In questo caso è difficile trovare una soluzione analitica, ma si deve fare uno studio approssimato con il metodo grafico.
Io ho fatto:
E[f]={x∈R: $e^(3x+1)-3x-7 >=0$}
$g(x)=e^(3x+1)-3x-7$
E[g]=]-infinito ; +infinito[
Poi calcolo i limiti agli estremi..
E[f]={x∈R: $e^(3x+1)-3x-7 >=0$}
$g(x)=e^(3x+1)-3x-7$
E[g]=]-infinito ; +infinito[
Poi calcolo i limiti agli estremi..
"Miry93":
Io ho fatto:
E[f]={x∈R: $e^(3x+1)-3x-7 >=0$}
$g(x)=e^(3x+1)-3x-7$
E[g]=]-infinito ; +infinito[
Poi calcolo i limiti agli estremi..
Vediamo, scrivendo così intendi (comunque metti l'intera espressione tra dollari che dovrebbe venire molto meglio)
$g(x)=e^(3x+1)-3x-7$ mentre $f(x)=\sqrt(g(x))$.
Se è così sono entrambi esatti, ma non puoi lasciare il dominio di $f$ in questo modo, devi cercare di esplicitarlo (anche se in modo approssimato trattandosi di una disequazione mista).
Quindi devi risolvere
$e^(3x+1)-3x-7 >=0$
o anche (per il metodo grafico)
$e^(3x+1)\ge 3x+7$
che, come detto nel precedente post, si fa solo in modo grafico (o con wolframalpha, ma all'esame non credo che vada bene questo secondo modo
).${ (h(x)=e^(3x+1)),( h(x)\ge3x+7 ):}$
o qualcosa di simile (sto scavando molto a fondo nella memoria e può darsi che non sono molto preciso).
Il motivo del fatto di esplicitare quel dominio sta nel fatto che devi cercare di risolverla perché se dopo la funzione devi disegnarla, devi avere un'idea (anche approssimata) di dove "puoi disegnarla".
Si, lo so che il dominio di f(x) bisogna esplicitarlo ma non devo farlo con il metodo grafico..la prof questo tipo di studio non lo risolve nel modo che dici tu.
Dato che la disequazione $e^(3x+1)-3x-7>=0$ non è deducibile,dovrei studiare per sommi capi la funzione $g(x)=e^(3x+1)-3x-7$
Dunque, dovrei fare campo di esistenza, comportamento agli estremi, derivata... di g(x).
Dato che la disequazione $e^(3x+1)-3x-7>=0$ non è deducibile,dovrei studiare per sommi capi la funzione $g(x)=e^(3x+1)-3x-7$
Dunque, dovrei fare campo di esistenza, comportamento agli estremi, derivata... di g(x).
"Miry93":
Si, lo so che il dominio di f(x) bisogna esplicitarlo ma non devo farlo con il metodo grafico..la prof questo tipo di studio non lo risolve nel modo che dici tu.
Io conosco due vie e quella più facile è quella che dicevo.
Inizio a pensare da quello che scrivi che dunque serve l'altro metodo - che non ti ho suggerito perché all'università non mi è stato mai chiesto - che prevede di studiare sommariamente $g(x)$ tracciandone il grafico per poi ricavare la radice dal grafico stesso.
Dico bene?
(Alle superiori chiamavano queste cose "grafici deducibili")
Si esattamente. Credo che sia questo il metodo di risoluzione che serve a me. Al liceo mi veniva chiesto di fare lo studio di una funzione ed era semplice, ma qui è diverso..sono confusa! 
Dovrei, per sommi capi, studiare $g(x)$ e tracciarne il grafico..per poi capire qual'è il campo di esistenza di $f(x)$ . Potresti aiutarmi con questa funzione, ad esempio? 
Dovrei, per sommi capi, studiare $g(x)$ e tracciarne il grafico..per poi capire qual'è il campo di esistenza di $f(x)$ . Potresti aiutarmi con questa funzione, ad esempio?
Ok, devi dunque studiare $g(x)$: mi spiace per l'incomprensione, ma chi risponde ad una domanda cerca comunque di dare una via che secondo lui sia giusta e comprensibile (almeno credo!).
Comunque, devi quindi studiare $g(x)$ che è definita in $\RR$ come hai detto e siamo apposto con il dominio.
Non so se hai uno schema preciso per quanto riguarda l'ordine, però si suppone che nello studio della $g(x)$ devi calcolare: limiti agli estremi ($+\infty$ e $-\infty$ in questo caso), massimi, minimi, intersezione assi, flessi (orizzontali e obliqui) ed eventuali asintoti.
Io l'ho elencate in un ordine, ma non so se è quello usato da te: tu usa il tuo metodo e scrivi i passaggi, poi noi siamo per aiutarti con i tuoi dubbi.
Comunque, devi quindi studiare $g(x)$ che è definita in $\RR$ come hai detto e siamo apposto con il dominio.
Non so se hai uno schema preciso per quanto riguarda l'ordine, però si suppone che nello studio della $g(x)$ devi calcolare: limiti agli estremi ($+\infty$ e $-\infty$ in questo caso), massimi, minimi, intersezione assi, flessi (orizzontali e obliqui) ed eventuali asintoti.
Io l'ho elencate in un ordine, ma non so se è quello usato da te: tu usa il tuo metodo e scrivi i passaggi, poi noi siamo per aiutarti con i tuoi dubbi.
Grazie per la disponibilità.
Comunque ho fatto i limiti agli estremi: ( non so scriverteli però )
$\lim_{x \to \-infty}g(x)=+infty$
$\lim_{x \to \+infty}g(x)=+infty$
ti trovi con i limiti?
Calcolo la derivata e la pongo maggiore di 0:
$3(e^(3x+1)-1)/(2sqrt(e^(3x+1)-3x-7))>0$
Comunque ho fatto i limiti agli estremi: ( non so scriverteli però
)$\lim_{x \to \-infty}g(x)=+infty$
$\lim_{x \to \+infty}g(x)=+infty$
ti trovi con i limiti?
Calcolo la derivata e la pongo maggiore di 0:
$3(e^(3x+1)-1)/(2sqrt(e^(3x+1)-3x-7))>0$
"Miry93":
Grazie per la disponibilità.
Comunque ho fatto i limiti agli estremi: ( non so scriverteli però
Non preoccuparti, con il tempo prenderai più dimestichezza con le formule e ti verrà più naturale.
Un trucco è quello di quotare i messaggi degli altri per vedere come hanno scritto loro. Per i limiti anche io mi ritrovo (poi come dico spesso, invito chiunque a smentirmi se sbaglio!).
"Miry93":
Calcolo la derivata e la pongo maggiore di 0:
$3(e^(3x+1)-1)/(2sqrt(e^(3x+1)-3x-7))>0$
Questa è la derivata di $f$ però, non è quella di $g$. Se stai studiando la $g$ per poi ricavare il grafico della $f$ da quello della $g$ devi studiare la $g$ dunque limiti, derivate ecc... ecc... sono riferiti alla $g$... no?
Si mi sono confusa hai ragione...
Quindi faccio la derivata e la pongo maggiore di 0:
$3(e^(3x+1)-1)>0$
viene $x> -1/3$
$g(-1/3) = -5$ ....... il minimo è -5 ti trovi?
invece $g(0)=e-7$
Quindi faccio la derivata e la pongo maggiore di 0:
$3(e^(3x+1)-1)>0$
viene $x> -1/3$
$g(-1/3) = -5$ ....... il minimo è -5 ti trovi?
invece $g(0)=e-7$
Sì, mi riporta tutto uguale a te fino ad ora. 
Mancano l'intersezione con l'asse $x$ ed eventuali flessi, se non erro, poi il grafico di $g$ puoi tranquillamente tracciarlo.
Mancano l'intersezione con l'asse $x$ ed eventuali flessi, se non erro, poi il grafico di $g$ puoi tranquillamente tracciarlo.
Vorrai dire che manca l'intersezione con l'asse $y$ .. perché quella con l'asse $x$ è $g(0)$
però quella con l'asse y non si può fare...
comunque a questo punto in ogni studio di funzione escono fuori valori alfa e beta non so da dove.. e da qui in poi non capisco come si fa a trovare il campo di esistenza di $f(x)$ ....
però quella con l'asse y non si può fare...
comunque a questo punto in ogni studio di funzione escono fuori valori alfa e beta non so da dove.. e da qui in poi non capisco come si fa a trovare il campo di esistenza di $f(x)$ ....
"Miry93":
Vorrai dire che manca l'intersezione con l'asse $y$ .. perché quella con l'asse $x$ è $g(0)$
No, aspetta, il contrario, manca da vedere quando $g(x)=0$ quindi l'intersezione con l'asse $x$.
"Miry93":
però quella con l'asse y non si può fare...
Se intendi con l'asse $x$ dopo che ho detto quelle 4 parole precedenti, rientriamo sempre nella faccenda del grafico...
... a meno che non vuoi applicare iterativamente il teorema degli zeri (mi sembra si chiami così).
Cioè prendi $[a,b]$ in cui $g(a)>0$ e $g(b)<0$ (o viceversa) per poi restringere progressivamente l'intervallo fino ad avere una approssimazione interessante della soluzione (almeno una cifra decimale, mica tanto, giusto per il grafico
)."Stellinelm":
comunque a questo punto in ogni studio di funzione escono fuori valori alfa e beta non so da dove.. e da qui in poi non capisco come si fa a trovare il campo di esistenza di $f(x)$ ....
Veramente neanche io capisco dove escono fuori eventuali alfa e beta...
Ma forse è un fatto della notazione differente che non conosco o di un modo diverso di impostare i problemi... mah
Comunque per la $g$ mancano i flessi (se ci sono) e concavità/convessità, cioè uno studio della derivata seconda che è abbastanza semplice.
EDIT: inserisco un po' di delirio.
Il problema del campo di esistenza della $f$ sta proprio nel fatto che per la $g$ è difficile trovare uno zero. La soluzione "pratica" (si fa per dire), se non vuoi o non devi usare il metodo grafico, sta nell'applicare iterativamente il teorema degli zeri prendendo intervalli via via minori per ottenere una soluzione migliore.
Ora, nota questi fatti:
1. per $x->+\infty$ la $g$ tende a $+\infty$
2. per $x->-\infty$ la $g$ tende a $+\infty$
3. $g(0)<0$
Tutti questi fatti ti dovrebbero far concludere che esistono 2 zeri di questa funzione. Infatti:
- la 1. ci dice che comunque per esiste un valore $x$ positivo per cui $g(x)>0$ (teorema di permanenza del segno dovrebbe essere) mentre la 2. ci dice la stessa cosa per $x$ negativo.
- la conclusione precedente, unita alla 3. ci permette di concludere che esistono almeno 2 zeri in quanto la $g$ interseca almeno 2 volte l'asse $x$.
Il fatto che gli zeri sono 2 lo vedo dalla derivata prima:
- sempre negativa per $x<-1/3$ che vuol dire che fino a $x<-1/3$ la funzione è sempre decrescente (interseca l'asse una volta sola quindi e sappiamo che lo interseca perché $g(-1/3)<0$ mentre d'altro canto, come detto, $g(x)->+\infty$ per $x->-\infty$).
- sempre positiva per il resto che vuol dire che la funzione è sempre crescente e quindi interseca una sola volta l'asse $x$ per poi andare a $+\infty$ al crescere di $x$.
Scusami se rispondo ora
Faccio la derivata seconda e la pongo maggiore e uguale a 0 : $9e^(3x+1)>=0$ viene $x>=0$ .... dovrebbe essere punto di flesso? Comunque per $x>0$ la convessità è verso l'alto, per $x<0$ la convessità è verso il basso.
Mi trovo con quello che dici circa le intersezioni con gli assi e a riguardo dei due zeri... mi hai illuminata un pò ! Quindi alla fine questi due zeri corrispondono all'intersezione con l'asse $x$ che prima non ho calcolato. Ho fatto un grafico approssimativo, ora come continuo?
Faccio la derivata seconda e la pongo maggiore e uguale a 0 : $9e^(3x+1)>=0$ viene $x>=0$ .... dovrebbe essere punto di flesso? Comunque per $x>0$ la convessità è verso l'alto, per $x<0$ la convessità è verso il basso.
Mi trovo con quello che dici circa le intersezioni con gli assi e a riguardo dei due zeri... mi hai illuminata un pò
! Quindi alla fine questi due zeri corrispondono all'intersezione con l'asse $x$ che prima non ho calcolato. Ho fatto un grafico approssimativo, ora come continuo?
"Miry93":
Scusami se rispondo ora
Faccio la derivata seconda e la pongo maggiore e uguale a 0 : $9e^(3x+1)>=0$ viene $x>=0$
Sei sicura che viene $x\ge 0$?
"Miry93":
Mi trovo con quello che dici circa le intersezioni con gli assi e a riguardo dei due zeri... mi hai illuminata un pò
Comunque, il fatto dei due zeri, come ho detto, è dovuto alla derivata: non è detto che se una funzione tende a $+\infty$ da una parte e dall'altra ed esiste un punto in cui è negativa, gli zeri siano solamente 2.
Ora che hai fatto un grafico approssimativo della $g$ (qui vado al liceo perché i grafici deducibili all'università finiscono nel cestino...
), devi farne uno altrettanto approssimativo della $f$ a partire da quello.Pensa che $f(x)=\sqrt(g(x))$...
Ho sbagliato...e di conseguenza anche il grafico approssimativo :S comunque credo si risolva con il logaritmo. Ma come ? $ln0=3x+1$ ? Ma $ln0$ non esiste..
"Miry93":
Ho sbagliato...e di conseguenza anche il grafico approssimativo :S comunque credo si risolva con il logaritmo. Ma come ? $ln0=3x+1$ ? Ma $ln0$ non esiste..
Right, infatti c'è un'affermazione che fa parte di un dogma che sarà una verità assoluta dalle scuole superiori in poi fino a crollare clamorosamente non appena si segue un corso di analisi complessa...
... e tale affermazione è che l'esponenziale è una funzione sempre positiva (o al massimo tende a zero quando il suo esponente tende a $-\infty$).
In genere si risolve con il logaritmo come dici tu, ma la soluzione - appunto - c'è quando $e^(h(x)) = k$ con $k$ positivo (altrimenti la soluzione non c'è).
[size=85]Come detto, assapora questi giorni in cui puoi ancora affermare una cosa del genere assaporando il gusto della vittoria: passando dall'abituale esponenziale (reale) all'esponenziale complesso sembrerà che tutto sia come un castello di carte da cui si toglie una delle carte in basso.
[/size]
e dato che $k=0$ la soluzione non c'è.. questo significa che non c'è flesso? Disegno quindi il grafico senza questa informazione.
Viene come se fosse una parabola ti trovi?
Viene come se fosse una parabola ti trovi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo