Studio di funzione

[Miry931]

Salve a tutti,
all'esame di matematica devo fare lo studio di funzione. Questo è un esempio di funzione:
$y=sqrt((e^3x+1)-3x-7)
Gentilmente potreste risolverla?E' come se fosse formata da due funzioni.. al liceo lo studio di una funzione lo sapevo fare.. c'è qualcosa che mi blocca in questa tipologia. A breve ho l'esame però e non so a chi chiedere aiuto.
Vi sarei molto grata se mi aiutaste..

[Zero87]

"Miry93":e dato che $k=0$ la soluzione non c'è.. questo significa che non c'è flesso? Disegno quindi il grafico senza questa informazione.

Sì, vuol dire che la funzione è sempre concava o convessa.

"Miry93":Viene come se fosse una parabola ti trovi?

All right, ora manca solamente ricavare quello della radice da quello di base.

[Miry931]

Quindi potremmo chiamare alfa e beta le due intersezioni con l'asse $x$ ... facendo ciò viene $E(f)=]-infty;alfa]U[beta;+infty[$ .... ed ecco da dove escono alfa e beta poi ora dovrei fare i limiti agli estremi e ripetere tutti i passaggi anche per $f$........... giusto?

[Zero87]

"Miry93":Quindi potremmo chiamare alfa e beta le due intersezioni con l'asse $x$ ... facendo ciò viene $E(f)=]-infty;alfa]U[beta;+infty[$ .... ed ecco da dove escono alfa e beta poi ora dovrei fare i limiti agli estremi e ripetere tutti i passaggi anche per $f$........... giusto?

Se metti una barra davanti a "alpha", cioè così "\alpha" tra dollari ottieni $\alpha$ (stesso dicasi per beta e tutte le lettere greche).
A parte questo, il "bello" dei grafici deducibili è che una volta che hai studiato la funzione base (chiamiamola così, va', sarebbe la $g$), non devi ricominciare con la $f$ ma basta che tracci un grafico abbastanza approssimato a partire da quello della $g$.

Ora, il punto è che sai che la $g$ ha due zeri: dovresti comunque inquadrarli un attimino, o almeno sapere dove stanno con una precisione non chissà quanto precisa (scusa il gioco di parole) ma almeno una cifra decimale.

Faccio un esempio con uno dei due zeri.
$g(0)= -5$ che lo sai già
$g(1)= e^4-10= 44$ circa

Quindi uno zero sta tra $0$ e $1$, se proprio vuoi puoi continuare per vedere se sta prima di $0,5$ o dopo, ma questo sta a te se ti va.

Per la $f(x)$ dovresti sapere che la radice è definita solo per radicando non negativo quindi se la $g(x)<0$ non puoi disegnare nulla, mentre vale zero se il radicando è nullo. Per il resto, dato che il tuo grafico deve essere dedotto da quello della $g$, puoi disegnarla un po' più bassa della $g$ stessa dato che $\sqrt(x) < x$ per $x>1$.

Questo vuol dire che se dovresti essere più precisa, la $f$ parte dallo zero della $g$ valendo zero anch'essa, poi sta un po' sopra alla $g$ fino a che $g(x)<1$ dopo di che sta sempre sotto alla $g$ per il motivo detto prima. Ora nello specifico, la funzione $g$ cresce molto velocemente (basta vedere che $g(1)=44$! partendo da $g(0)=-5$), quindi questo ipotetico intervallo in cui la $g$ sta tra 0 e 1 è talmente piccolo che sul grafico nemmeno si vede e lo puoi tranquillamente trascurare.

[Miry931]

Si ma la prof vuole nuovamente i passaggi anche per $f(x)$ che io vedo inutili perché già si capisce dal grafico di $g(x)$, unito alla condizione di esistenza della radice, dove si può disegnare $f(x)$....
si nota che $g(x)$ cresce velocemente a destra mentre lentamente a sinistra.. comunque dovendo ora fare i limiti agli estremi ma il $\lim_{x \to \alpha}sqrtg(x)=?$ e $\lim_{x \to \beta}sqrtg(x)=?$ quanto fanno?

[Zero87]

"Miry93":Si ma la prof vuole nuovamente i passaggi anche per $f(x)$ che io vedo inutili perché già si capisce dal grafico di $g(x)$, unito alla condizione di esistenza della radice, dove si può disegnare $f(x)$....

Beh, effettivamente ripetere tutto da capo dopo aver fatto lo studio della $g(x)$ non lo vedo neanche io tanto utile...

"Miry93":si nota che $g(x)$ cresce velocemente a destra mentre lentamente a sinistra.. comunque dovendo ora fare i limiti agli estremi ma il $\lim_{x \to \alpha}sqrtg(x)=?$ e $\lim_{x \to \beta}sqrtg(x)=?$ quanto fanno?

I limiti agli estremi sai già che fanno zero perché nell'estremo in questione $g(x)->0$.

Dovresti infatti ricordare che $lim_(x->0^+) \sqrt(x) =0$ (dopo, se al posto della $x$ c'è una qualsiasi funzione continua che tende a zero fa lo stesso)...

[Miry931]

ok allora non posso fare altro che ringraziarti per l'aiuto e la disponibilità
Non credevo che tramite un forum avrei potuto risolvere questi problemini

[Zero87]

"Miry93":ok allora non posso fare altro che ringraziarti per l'aiuto e la disponibilità
Non credevo che tramite un forum avrei potuto risolvere questi problemini

Di nulla, questo forum si propone di chiarire dubbi che è ben diverso da "postare un esercizio e qualcun altro lo risolve" (altrimenti avrei dato subito la soluzione, no?): anche perché - regolamento a parte - se invece di ragionare con te avessi dato la soluzione probabilmente non ci avresti capito granché o sarebbe stata inutile (anche perché avevo in mente l'opzione dello studio diretto che non è la stessa del grafico deducibile).