Studio derivata seconda di $ f(x) = \log (x + 1) + \frac{1}{x-1} $

[ncant04]

Salve a tutti!
Sto svolgendo lo studio della funzione $ f(x) = \log (x + 1) + \frac{1}{x-1} $ ed ho appena concluso lo studio della derivata prima. Come al solito, partendo dalla derivata prima di $ f $:
\[
f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2-x-1}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1 - x- 1}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{x^2-3x}{(x+1)(x-1)^2}
\]
calcolo la derivata seconda, per poi studiarne la positività. Ma (dopo mille peripezie):
\[
f''(x) = - \frac{x^3 - 5x^2 - x - 3}{x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1}
\]
...il che non è molto facile da analizzare a prima vista.
C'è per caso un altro approccio al problema?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao ncant,

In effetti anche a me risulta $f''(x) = -(x^3 - 5x^2 - x - 3)/((x - 1)^3 (x + 1)^2) $

A meno che tu non sia obbligato a farlo, sconsiglierei lo studio del segno di tale derivata seconda, ma se insisti...
https://www.wolframalpha.com/input?i=-%28x%5E3+-+5x%5E2+-+x+-+3%29%2F%28%28x+-+1%29%5E3+%28x+%2B+1%29%5E2%29+%3E%3D+0

[ncant04]

Grazie mille, pillo!

Ora, se mi vuoi scusare, devo riprendermi dall'infarto

[pilloeffe]

"ncant":Ora, se mi vuoi scusare, devo riprendermi dall'infarto

Eh, cosa vuoi che sia...
Considerando che i quadrati a denominatore sono sempre positivi, nel dominio della funzione e della derivata ci si può ricondurre a studiare "semplicemente"

$ (x^3 - 5x^2 - x - 3)/(x - 1) \le 0 $

Quindi la derivata seconda sarà positiva nell'intervallo $(1, \alpha] $, dove $\alpha $ è la soluzione dell'equazione di terzo grado $x^3 - 5x^2 - x - 3 = 0 $ che si può risolvere con la formula di Girolamo Cardano e si trova l'unica soluzione reale

$\alpha = 1/3 (5 + \root[3]{188 - 12\sqrt93} + 2^{2/3} \root[3]{47 + 3\sqrt93})$

Le altre due soluzioni dell'equazione di terzo grado sono complesse coniugate, quindi non interessano.

[ncant04]

"pilloeffe":
$\alpha = 1/3 (5 + \root[3]{188 - 12\sqrt93} + 2^{2/3} \root[3]{47 + 3\sqrt93})$

Considerando che questo studio è preso da un testo d'esame (precisamente, è parte della seconda parte del compito che devi svolgere in un'ora), non penso che questi calcoli siano proprio facili

Comunque si apprezza sempre e si prende spunto. Grazie.

[ot]Video su come dei tizi nel 1500 hanno trovato una formula generale per le equazioni di terzo grado.

[/ot]

[pilloeffe]

"ncant":Considerando che questo studio è preso da un testo d'esame (precisamente, è parte della seconda parte del compito che devi svolgere in un'ora), non penso che questi calcoli siano proprio facili

Certamente, era solo per farti vedere che è fattibile, ma rimane valido quanto

"pilloeffe":A meno che tu non sia obbligato a farlo, sconsiglierei lo studio del segno di tale derivata seconda