Studio derivabilità e continuità

[pietrodig]

Ciao ragazzi,
intanto buona Pasqua a tutti.
Volevo proporvi un esercizio che credo di essere riuscito a risolvere ma che vorrei condividere con voi.
Data la funzione definita a tratti:

$f(x)=\{(|x-2| + x, ", per " 1<=x<3),(h, ", per " x=3),(e^(x-3) (x+1), ", per " 3
Stabilire per quale valore di h la funzione è continua e studiare la derivabilità.

Una funzione f(x) è continua in un punto c se: $lim_(x->c)f(x)=f(c)$. Nel nostro caso dobbiamo studiare il limite destro e sinistro del punto x=3. Perciò:
$lim_(x->3^-)|x-2| + x = lim_(x->3^+)e^(x-3)*(x+1) = 4$
Dal momento che il limite destro e sinistro del punto x=3 esistono e sono uguali, tale punto non è un punto di discontinuità. Affinchè sia continuo deve essere appunto h=4.

Studiamo ora la derivabilità. Ora dopo diverse ricerche e approfondimenti, io procedo in questo modo: calcolo la derivata della funzione nei vari tratti e analizzo i casi in cui la derivata destra e sinistra differiscono in un punto. Ovvero:

$f'(x)=\{(2 , ", per " 1<=x<3),(0 , ", per " x=3),(e^(x-3) (x+2), ", per " 3 La funzione è continua negli intervalli considerati e risulta sicuramente derivabile in essi. Bisogna stabilire se nel punto x=3 la derivata destra e sinistra coincidono.
$lim_(x->3^-)f'(x)=2 != lim_(x->3^+)f'(x)=5$
Ricordiamo anche che in x=3, f'(x)=0. Essendo diverse le derivate destra e sinistra del punto x=3 esso rappresenta un punto angoloso e pertanto f(x) non è derivabile in quel punto.

Ragazzi che ve ne pare del mio ragionamento ?

[gugo82]

Controlla bene.

Che senso ha [tex]$f^\prime (3)=0$[/tex]?
E poi, sei sicuro che [tex]$f^\prime (x)=2$[/tex] quando [tex]$x<3$[/tex]?

[pietrodig]

scusa la derivata di una costante a cosa è uguale ? Poi sì ho controllato la seconda derivata è corretta. Ma voglio dire: a livello di ragionamento ci siamo oppure ho impostato male il discorso ?

[maurer]

Ma la funzione non è costante in [tex]x = 3[/tex]!!!! Devi sempre guardare il comportamento della funzione in un intorno del punto che consideri.

Altrimenti, tutte le funzioni sarebbero costanti perché, guarda un po', se [tex]f(x) = x^2[/tex] allora [tex]f(0) = 0[/tex] e [tex]0[/tex] è una costante!

[pietrodig]

Va bene. A parte quel piccolo neo, credo che possiamo dire che la funzione non sia derivabile nel punto x=3 perché la derivata destra e sinistra non coincidono. Mi potete dire allora se il ragionamento va bene ? Sono un po' confuso perché su internet ho trovato esercizi dove calcolano il limite del rapporto incrementale e non so il modo esatto in cui si procede.

[paolotesla91]

pietro credo che tu abbia sbagliato i limiti... perchè una funzione sia derivabile bisogna che le derivate destra e sinistra coincidano, però bada bene, "le derivate" quindi i rapporti incrementali, non i limiti della derivata come invece hai fatto tu!!