Studio della funzione integrale
Salve,
in un esercizio ho trovato questa:
$F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt (t) (t+1)^2}dt$ con $x\in ]0,+\infty)$
Della quale bisogna stabilire se ha asintoti e se sì, quanti e di che tipo e se è uniformemente continua.
Allora per gli asintoti credo che debba calcolare l'integrale improprio.
Ho provato ad integrare per sostituzione ponendo $\sqrt t=s$; $t=s^2$; $dt=2sds$ ma appena arrivo a $2\int \frac{1}{(s^2+1)^2}ds$ mi blocco.
Qualche suggerimento?
in un esercizio ho trovato questa:
$F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt (t) (t+1)^2}dt$ con $x\in ]0,+\infty)$
Della quale bisogna stabilire se ha asintoti e se sì, quanti e di che tipo e se è uniformemente continua.
Allora per gli asintoti credo che debba calcolare l'integrale improprio.
Ho provato ad integrare per sostituzione ponendo $\sqrt t=s$; $t=s^2$; $dt=2sds$ ma appena arrivo a $2\int \frac{1}{(s^2+1)^2}ds$ mi blocco.
Qualche suggerimento?
Risposte
prova a scomporre $1/((s^2+1)^2)$ con il metodo standard in somme di rapporti di più polinomi, ti salta fuori qualcosa di abbastanza buono.
Intendi sviluppando il quadrato a denominatore e poi esprimerlo come prodotto di binomi?
EDIT:
Cioè intendi scrivere $\frac{1}{(s^2+1)^2}$ come $\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+1}$ ???
EDIT:
Cioè intendi scrivere $\frac{1}{(s^2+1)^2}$ come $\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+1}$ ???
Niente, ho scritto una fesseria. Che intendi con "somme di rapporti di più polinomi" ?
"Orlok":
Cioè intendi scrivere $\frac{1}{(s^2+1)^2}$ come $\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+1}$ ???
Casomai $(As+B)/(s^2+1) + (Cs+D)/(s^2+1)^2$ ma non se ne ricava nulla di buono...
Aggiungi e sottrai $s^2$ al numeratore, otterrai così $1/(1+s^2)-s^2/(1+s^2)^2$.
Il primo pezzo si integra all'istante, l'integrale del secondo puoi farlo per parti, considerando $f'(s)=s/(1+s^2)^2$ e $g(s)=s$.
Il primo pezzo si integra all'istante, l'integrale del secondo puoi farlo per parti, considerando $f'(s)=s/(1+s^2)^2$ e $g(s)=s$.
Grazie ad entrambi. E' da ieri che friggo su sta cosa. Domanda, ma se confronto la funzione integranda con $1/t^2$ e quindi al punto da ottenere:
$\lim_{x\to +\infty} \frac{t^2}{\sqrt t (t^2+1+2t)}=\lim_{x\to +\infty} \frac{t^\frac{3}{2}}{t^2+1+2t}=0$ per il criterio del confronto asintotico scopro che l'integrale improprio esiste in $[1,+\infty)$
Giusto?
$\lim_{x\to +\infty} \frac{t^2}{\sqrt t (t^2+1+2t)}=\lim_{x\to +\infty} \frac{t^\frac{3}{2}}{t^2+1+2t}=0$ per il criterio del confronto asintotico scopro che l'integrale improprio esiste in $[1,+\infty)$
Giusto?
@Orlok: Abbiamo uno sticky apposito (grazie a Camillo) che raccoglie tecniche per la soluzione di questi problemi.
In generale, calcolare l'integrale esplicitamente non serve.
In generale, calcolare l'integrale esplicitamente non serve.
Davvero utile!!!
Però purtroppo non ho trovato la parte sull'uniforme continuità ma suppongo sia implicita nella ricerca dell'asintoto (orizzontale o obliquo). Ma nel mio caso in cui io verifico che
$\exists \lim_{x\to +\infty} \int_{1}^{x} f(t)dt$ scopro che è uniformemente continua su $[1,+\infty)$, per sapere se lo è su l'intero dominio ( $(0,+\infty)$) cosa dovrei provare?
Però purtroppo non ho trovato la parte sull'uniforme continuità ma suppongo sia implicita nella ricerca dell'asintoto (orizzontale o obliquo). Ma nel mio caso in cui io verifico che
$\exists \lim_{x\to +\infty} \int_{1}^{x} f(t)dt$ scopro che è uniformemente continua su $[1,+\infty)$, per sapere se lo è su l'intero dominio ( $(0,+\infty)$) cosa dovrei provare?
Per quanto riguarda l'uniforme continuità ho riflettuto su alcune cose, ma non so se sono giuste:
Allora visto che $\exists \lim_{x\to +\infty} \int_{1}^{x} f(t)dt=\int_{1}^{+\infty}f(t)dt$ se riesco a provare che $\exists \lim_{x\to 0^+} \int_{x}^{1} f(t)dt=\int_{0}^{1} f(t)dt$ allora significa che la funzione è integrabile in senso generalizzato su $(0,+\infty)$ che equivale a dire che $\exists lim_{x\to +\infty} \int_{0}^{x} f(t)dt$
Ecco sono molto dubbioso su quest'ultima affermazione oltre che sul resto della mia osservazione.
Allora visto che $\exists \lim_{x\to +\infty} \int_{1}^{x} f(t)dt=\int_{1}^{+\infty}f(t)dt$ se riesco a provare che $\exists \lim_{x\to 0^+} \int_{x}^{1} f(t)dt=\int_{0}^{1} f(t)dt$ allora significa che la funzione è integrabile in senso generalizzato su $(0,+\infty)$ che equivale a dire che $\exists lim_{x\to +\infty} \int_{0}^{x} f(t)dt$
Ecco sono molto dubbioso su quest'ultima affermazione oltre che sul resto della mia osservazione.
Qualcuno che se la sente di darmi una mano?
Non ho letto il post con attenzione, ma forse ciò che sto per dire ti aiuterà.
Se una funzione continua va all'infinito come una funzione uniformemente continua, allora è uniformemente continua.
più chiaramente, sto richiedendo $lim_(x \to +\infty) f(x)-g(x)=0$ ove $f$ è la tua funzione continua e $g$ è una funzione uniformemente continua. Ovviamente le costanti e le rette sono uniformente continue (sono lipshitziane).
Per una dimostrazione.. chiedimi e ti do qualche hint.
Se una funzione continua va all'infinito come una funzione uniformemente continua, allora è uniformemente continua.
più chiaramente, sto richiedendo $lim_(x \to +\infty) f(x)-g(x)=0$ ove $f$ è la tua funzione continua e $g$ è una funzione uniformemente continua. Ovviamente le costanti e le rette sono uniformente continue (sono lipshitziane).
Per una dimostrazione.. chiedimi e ti do qualche hint.
"Orlok":
[tex]$F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex] con [tex]$x\in ]0,+\infty[$[/tex]
Della quale bisogna stabilire se ha asintoti e se sì, quanti e di che tipo e se è uniformemente continua.
La [tex]$F$[/tex] è continua e derivabile in [tex]$]0,+\infty[$[/tex], con derivata pure continua (in quanto funzione integrale di un'applicazione continua).
L'integrando è infinito per [tex]$t\to 0^+$[/tex] d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2} <1$[/tex], sicché esso è sommabile in [tex]$[0,1]$[/tex] e perciò esiste finito l'integrale improprio [tex]$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex]; in forza di ciò abbiamo:
[tex]$\lim_{x\to 0^+} F(x)=-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex]
per cui la [tex]$F$[/tex] si può prolungare su [tex]$0$[/tex] da destra con continuità ponendo [tex]$F(0):=-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex].
D'altra parte, l'integrando è infinitesimo per [tex]$t\to +\infty$[/tex] d'ordine [tex]$\tfrac{5}{2} >1$[/tex], onde esso è sommabile in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] ed esiste finito l'integrale improprio [tex]$\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex]: ciò implica che:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} F(x)=\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex]
cosicché la [tex]$F$[/tex] ha asintoto orizzontale a destra, tale asintoto essendo la retta d'equazione [tex]$y=\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$[/tex].
Tenendo presente che [tex]$\frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2} \leq \frac{1}{(t+1)^2}$[/tex] in [tex]$[1,+\infty[$[/tex], abbiamo una stima rozza per l'integrale improprio su [tex]$[1,+\infty[$[/tex]:
[tex]$0\leq \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t \leq \int_1^{+\infty} \frac{1}{(t+1)^2}\ \text{d} t =\left[ -\frac{1}{t+1}\right]_1^{+\infty} =\frac{1}{2}$[/tex];
analogamente, visto che per [tex]$t\in [0,1]$[/tex] si ha [tex]$1\leq (t+1)^2 \leq 4$[/tex], risulta:
[tex]$\int_0^1 \frac{1}{4\sqrt{t}} \ \text{d} t \leq \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t \leq \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ \text{d} t \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \frac{1}{2} = \Big[ \frac{1}{2}\ \sqrt{t}\Big]_0^1 \leq \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t \leq \Big[ 2\sqrt{t} \Big]_0^1 = 2$[/tex]
per cui abbiamo la stima rozza [tex]$F(0)=-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t \in [-2,-1]$[/tex].
Un'applicazione del Teorema fondamentale del Calcolo consente di scrivere [tex]$F^\prime (x)=\frac{1}{\sqrt{x}\ (x+1)^2} >0$[/tex] per [tex]$x\in ]0,+\infty[$[/tex]: pertanto la [tex]$F$[/tex] è strettamente crescente in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] ed assume in [tex]$0$[/tex] il suo minimo (assoluto) che è [tex]$-\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t <0$[/tex].
Derivando nuovamente si prova che [tex]$F^{\prime \prime} (x) <0$[/tex] in [tex]$]0,+\infty[$[/tex], per cui [tex]$F$[/tex] è concava.
Tanto basta per disegnare un buon grafico.
Come vedi l'integrale non è mai stato calcolato esplicitamente.*
Per quanto riguarda la continuità uniforme, si può concludere in vari modi: uno è quello segnalato da Gaal; l'altro è il teorema, più basic, dell'uniforme continuità di una funzione continua dotata di asintoto orizzontale (che poi è una particolarizzazione del risultato suggerito da Gaal).
__________
* Giusto per curiosità segnalo che [tex]$F(0)=-\frac{2+\pi}{4} \approx -1.29$[/tex], quindi la stima trovata è davvero "rozza"!
Allora. Ho parecchie difficoltà a capire certi punti sulla base di quello che ho studiato sulla funzione integrale....cominciamo da questo
Il libro (Di Bari-Vetro) dice che la funzione integranda deve essere definita in un intervallo $[a,b]$ quindi chiuso e limitato. Da ciò che hai scritto mi pare di capire che il dominio della funzione integranda può anche essere un intervallo non solo aperto ma neanche limitato come nel caso di $]0,+\infty)$. Giusto?
La [tex]$F$[/tex] è continua e derivabile in [tex]$]0,+\infty[$[/tex], con derivata pure continua (in quanto funzione integrale di un'applicazione continua).
Il libro (Di Bari-Vetro) dice che la funzione integranda deve essere definita in un intervallo $[a,b]$ quindi chiuso e limitato. Da ciò che hai scritto mi pare di capire che il dominio della funzione integranda può anche essere un intervallo non solo aperto ma neanche limitato come nel caso di $]0,+\infty)$. Giusto?
E infatti...
Il dominio di una funzione integrale di punto iniziale [tex]$x_0$[/tex] (ossia qualcosa nella forma [tex]$F(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex]), detto rozzamente, è il più grande intervallo contenente [tex]$x_0$[/tex] e contenuto nel dominio di [tex]$f$[/tex] sul quale la stessa [tex]$f$[/tex] risulti (impropriamente) integrabile.
Ad esempio la funzione [tex]$F(x)=2+\int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; non si può prolungare su [tex]$0$[/tex] (perché [tex]$f(t):=\frac{1}{t}$[/tex] non è impropriamente integrabile in [tex]$[0,1]$[/tex]) né a sinistra di [tex]$0$[/tex] (perché altrimenti dovresti dare un senso ad un integrale del tipo [tex]$\int_x^0 f(t)\ \text{d} t +\int_0^1f(t)\ \text{d}t$[/tex] che però è nella forma indeterminata [tex]$-\infty +\infty$[/tex]).
Per quanto riguarda la continuità e la derivabilità, la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo si adatta facilmente al caso di intervalli non compatti (basta restringersi ad un intorno compatto), ergo la funzione integrale d'una funzione integrabile è continua ed è derivabile nei punti in cui l'integrando è continuo.
Il dominio di una funzione integrale di punto iniziale [tex]$x_0$[/tex] (ossia qualcosa nella forma [tex]$F(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex]), detto rozzamente, è il più grande intervallo contenente [tex]$x_0$[/tex] e contenuto nel dominio di [tex]$f$[/tex] sul quale la stessa [tex]$f$[/tex] risulti (impropriamente) integrabile.
Ad esempio la funzione [tex]$F(x)=2+\int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; non si può prolungare su [tex]$0$[/tex] (perché [tex]$f(t):=\frac{1}{t}$[/tex] non è impropriamente integrabile in [tex]$[0,1]$[/tex]) né a sinistra di [tex]$0$[/tex] (perché altrimenti dovresti dare un senso ad un integrale del tipo [tex]$\int_x^0 f(t)\ \text{d} t +\int_0^1f(t)\ \text{d}t$[/tex] che però è nella forma indeterminata [tex]$-\infty +\infty$[/tex]).
Per quanto riguarda la continuità e la derivabilità, la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo si adatta facilmente al caso di intervalli non compatti (basta restringersi ad un intorno compatto), ergo la funzione integrale d'una funzione integrabile è continua ed è derivabile nei punti in cui l'integrando è continuo.
Quindi se ho $f:I\to \mathbb{R}$ ivi continua e derivabile con $I$ di qualsiasi tipo, la funzione $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ con $a$ di accumulazione per $I$, è continua e derivabile su $I$ ???
Provalo.
Te l'ho detto, basta adattare la dimostrazione del teorema fondamentale.
Te l'ho detto, basta adattare la dimostrazione del teorema fondamentale.
Allora vediamo di usare tale dimostrazione:
Supponiamo di avere $f:]a,b[\to \mathbb{R}$ ivi continua. Sappiamo che $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ è una primitiva di $f$.
$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)dt$ ed $F(a)=0$
Ma $F(x)$ deve essere prolungabile su $a$ e deve esistere $\lim_{x\to b^-}F(x)$ giusto?
Supponiamo di avere $f:]a,b[\to \mathbb{R}$ ivi continua. Sappiamo che $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ è una primitiva di $f$.
$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)dt$ ed $F(a)=0$
Ma $F(x)$ deve essere prolungabile su $a$ e deve esistere $\lim_{x\to b^-}F(x)$ giusto?
Ovvio che, nelle ipotesi poste su [tex]$f$[/tex], l'integrale [tex]$\int_a^x f(t)\ \text{d} t$[/tex] potrebbe non avere senso per nessun [tex]$x \in ]a,b[$[/tex] (ad esempio, non ha senso l'integrale [tex]$\int_0^x \frac{1}{t(t-1)} \ \text{d} t$[/tex] per alcun [tex]$x \in ]0,1[$[/tex]).
Per ovviare, scegli come punto iniziale un [tex]$x_0$[/tex] interno ad [tex]$]a,b[$[/tex], cioè considera [tex]$F(x):=\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex].
Poi, tu vuoi far vedere che [tex]$F$[/tex] è continua e derivabile in ogni [tex]$x\in ]a,b[$[/tex], quindi al momento non ti serve affatto sapere cosa succede negli estremi.
La situazione negli estremi [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex] va valutata a parte e non influenza in alcun modo il comportamento di [tex]$F$[/tex] nei punti interni ad [tex]$]a,b[$[/tex].
Per ovviare, scegli come punto iniziale un [tex]$x_0$[/tex] interno ad [tex]$]a,b[$[/tex], cioè considera [tex]$F(x):=\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex].
Poi, tu vuoi far vedere che [tex]$F$[/tex] è continua e derivabile in ogni [tex]$x\in ]a,b[$[/tex], quindi al momento non ti serve affatto sapere cosa succede negli estremi.
La situazione negli estremi [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex] va valutata a parte e non influenza in alcun modo il comportamento di [tex]$F$[/tex] nei punti interni ad [tex]$]a,b[$[/tex].
Nel mio caso specifico, ossia quello della funzione $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$ con [tex]x\in ]0,+\infty[[/tex], visto che $f$ è integrabile su $[0,1]$ e quindi anche su $]0,1]$ e lo è anche in $[1,+\infty)$ allora lo è pure sul dominio della funzione, giusto?
Poi mi era venuto un altro dubbio: Ma se la funzione integranda avesse un asintoto verticale, questo sarebbe asintoto verticale pure per $F(x)$ ?
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