Studio della funzione integrale
Salve,
in un esercizio ho trovato questa:
$F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt (t) (t+1)^2}dt$ con $x\in ]0,+\infty)$
Della quale bisogna stabilire se ha asintoti e se sì, quanti e di che tipo e se è uniformemente continua.
Allora per gli asintoti credo che debba calcolare l'integrale improprio.
Ho provato ad integrare per sostituzione ponendo $\sqrt t=s$; $t=s^2$; $dt=2sds$ ma appena arrivo a $2\int \frac{1}{(s^2+1)^2}ds$ mi blocco.
Qualche suggerimento?
in un esercizio ho trovato questa:
$F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt (t) (t+1)^2}dt$ con $x\in ]0,+\infty)$
Della quale bisogna stabilire se ha asintoti e se sì, quanti e di che tipo e se è uniformemente continua.
Allora per gli asintoti credo che debba calcolare l'integrale improprio.
Ho provato ad integrare per sostituzione ponendo $\sqrt t=s$; $t=s^2$; $dt=2sds$ ma appena arrivo a $2\int \frac{1}{(s^2+1)^2}ds$ mi blocco.
Qualche suggerimento?
Risposte
Esempio: considera la funzione [tex]$F(x)=-1+\int_{-1}^x \frac{1}{\sqrt[3]{t}}\ \text{d}t$[/tex]...
Vediamo se ho capito:
La funzione $f(t)=\frac{1}{t^{1/3}}$ è definita e continua su $\mathbb{R}-{0}$ e presenta in $x=0$ un asintoto verticale. Nonostante tutto esiste finito $\lim_{x\to 0}\int_{-1}^{x} f(t)dt$. Quindi la funzione $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t)dt$ non ha asintoto verticale in $x=0$. Giusto?
La funzione $f(t)=\frac{1}{t^{1/3}}$ è definita e continua su $\mathbb{R}-{0}$ e presenta in $x=0$ un asintoto verticale. Nonostante tutto esiste finito $\lim_{x\to 0}\int_{-1}^{x} f(t)dt$. Quindi la funzione $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t)dt$ non ha asintoto verticale in $x=0$. Giusto?
Esatto.
In particolare è [tex]$F(x)=-1+\left[ 3\sqrt[3]{t}\right]_{-1}^x =3\sqrt[3]{x}+2$[/tex] e, come puoi ben vedere, essa non ha alcun asintoto.
In generale, se hai [tex]$F(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex] e se [tex]$x_1$[/tex] è un punto intorno al quale [tex]$f$[/tex] non è limitata ma ciò nonostante [tex]$f$[/tex] è sommabile intorno ad [tex]$x_1$[/tex], allora la [tex]$F$[/tex] è continua in [tex]$x_1$[/tex].
In particolare è [tex]$F(x)=-1+\left[ 3\sqrt[3]{t}\right]_{-1}^x =3\sqrt[3]{x}+2$[/tex] e, come puoi ben vedere, essa non ha alcun asintoto.
In generale, se hai [tex]$F(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t$[/tex] e se [tex]$x_1$[/tex] è un punto intorno al quale [tex]$f$[/tex] non è limitata ma ciò nonostante [tex]$f$[/tex] è sommabile intorno ad [tex]$x_1$[/tex], allora la [tex]$F$[/tex] è continua in [tex]$x_1$[/tex].
Tutto chiaro e abbastanza generale soprattutto. Grazie.
Ma tornando al caso di $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$ con [tex]x\in ]0,+\infty[[/tex] per sapere se $F(x)$ è uniformemente continua, non facevamo prima a vedere se esisteva $\lim_{x\to +\infty} \int_{0}^{+\infty} f(t)dt$ oppure il fatto che $F(x)$ non sia definita in $0$ non ci avrebbe permesso un simile ragionamento a priori? Spero di esser stato chiaro nel porre la domanda.
Ma tornando al caso di $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$ con [tex]x\in ]0,+\infty[[/tex] per sapere se $F(x)$ è uniformemente continua, non facevamo prima a vedere se esisteva $\lim_{x\to +\infty} \int_{0}^{+\infty} f(t)dt$ oppure il fatto che $F(x)$ non sia definita in $0$ non ci avrebbe permesso un simile ragionamento a priori? Spero di esser stato chiaro nel porre la domanda.
Esempio: prendiamo [tex]$F(x)=\frac{1}{x} =1+\int_1^x \frac{1}{t^2}\ \text{d} t$[/tex] in [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
Secondo te la [tex]$F$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]?
Secondo te la [tex]$F$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]?
No, perchè non esiste finito $\lim_{x\to 0^+}\int_{x}^{1} \frac{1}{t^2}$d$t$.
Semmai è uniformemente continua su [tex][1, +\infty[[/tex]
Sbaglio qualcosa?
Semmai è uniformemente continua su [tex][1, +\infty[[/tex]
Sbaglio qualcosa?
No, hai perfettamente ragione.
D'altra parte che [tex]$F(x)=\frac{1}{x}$[/tex] non sia uniformemente continua in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] segue dalla definizione con qualche conticino; anzi se non erro, sono quegli stessi conticini che ti mostrano che il problema è proprio in [tex]$0$[/tex] (perchè è lì intorno che non riesci a limitare inferioremnte il [tex]$\delta_\varepsilon$[/tex] della definizione di u.c.), sicché la tua funzione è u.c. in ogni insieme del tipo [tex]$[a,+\infty[$[/tex] con [tex]$a>0$[/tex] ma non in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
Quindi (morale della favola) non basta controllare in generale il limite [tex]$\lim_{x\to +\infty} F(x)$[/tex] per acquisire l'uniforme continuità.
D'altra parte che [tex]$F(x)=\frac{1}{x}$[/tex] non sia uniformemente continua in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] segue dalla definizione con qualche conticino; anzi se non erro, sono quegli stessi conticini che ti mostrano che il problema è proprio in [tex]$0$[/tex] (perchè è lì intorno che non riesci a limitare inferioremnte il [tex]$\delta_\varepsilon$[/tex] della definizione di u.c.), sicché la tua funzione è u.c. in ogni insieme del tipo [tex]$[a,+\infty[$[/tex] con [tex]$a>0$[/tex] ma non in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
Quindi (morale della favola) non basta controllare in generale il limite [tex]$\lim_{x\to +\infty} F(x)$[/tex] per acquisire l'uniforme continuità.
Avrei potuto dire che $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}\ (t+1)^2}\ \text{d} t$ con [tex]x\in ]0,+\infty[[/tex] avendo derivata prima limitata (in quanto $F'(x)=f(t)dt$ ) è Lipschitziana e dunque uniformemente continua?
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