Studio della convergenza di una successione al variare di un parametro
Buonasera, ho svolto il seguente esercizio, ma il risultato mi sembra un po banale. Forse (anzi, probabilmente) ho sbagliato qualche cosa. Riporto l'esercizio in questione:
Studiare al variare del parametro $ beta >0 $ la seguente successione:
$ f_n(x)= e^((-n^beta)*x^2) $
1) La convergenza puntuale ed assoluta su R:
Per la convergenza puntuale è sufficiente studiare il $ lim_(n -> oo) f_n(x)=lim_(n -> oo)e^((-n^beta)*x^2)={ ( 0 \ \ \ \ \ \ se \ \ x!= 0 ),( 1 \ \ \ \ \ \ se \ \ x=0 ):} $
ho quindi che la mia funzione non converge puntualmente su R (al massimo converge puntualmente a $ g(x)={ ( 1 \ \ \ \ \ se \ \ x=0 ),( 0 \ \ \ \ \ se \ \ x!=0 ):} $ )
non essendoci convergenza puntuale, non ho nemmeno convergenza uniforme su R.
2)La convergenza uniforme su $ ( -delta,0) $ e $ (0, delta) $ con $ delta>0 $.
Per questo punto studio il $ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| $ dove $ g(x) $ per $ x!=0 $ vale 0 come scritto sopra.
Allora:
$ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| = lim_(n -> oo) Sup_(\ \ x in (0,delta)) |e^((-n^beta)*x^2)|=1 $
allora non ho convergenza uniforme su tale intervallo.
3) La convergenza uniforme in $ ( delta, +oo) $
in questo caso: $ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| = lim_(n -> oo) Sup_(\ \ x in (+delta,+oo)) |e^((-n^beta)*x^2)|=0 $
allora ho convergenza assoluta.
nelle 2 domande precedenti, mi è richiesta anche la convergenza totale. Io però credo che la domanda sia mal posta, poichè la convergenza totale non è definita solo per le serie?
In definitiva, non ho trovato alcuna influenza del parametro beta. Spero mi possiate aiutare, grazie a tutti!
Studiare al variare del parametro $ beta >0 $ la seguente successione:
$ f_n(x)= e^((-n^beta)*x^2) $
1) La convergenza puntuale ed assoluta su R:
Per la convergenza puntuale è sufficiente studiare il $ lim_(n -> oo) f_n(x)=lim_(n -> oo)e^((-n^beta)*x^2)={ ( 0 \ \ \ \ \ \ se \ \ x!= 0 ),( 1 \ \ \ \ \ \ se \ \ x=0 ):} $
ho quindi che la mia funzione non converge puntualmente su R (al massimo converge puntualmente a $ g(x)={ ( 1 \ \ \ \ \ se \ \ x=0 ),( 0 \ \ \ \ \ se \ \ x!=0 ):} $ )
non essendoci convergenza puntuale, non ho nemmeno convergenza uniforme su R.
2)La convergenza uniforme su $ ( -delta,0) $ e $ (0, delta) $ con $ delta>0 $.
Per questo punto studio il $ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| $ dove $ g(x) $ per $ x!=0 $ vale 0 come scritto sopra.
Allora:
$ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| = lim_(n -> oo) Sup_(\ \ x in (0,delta)) |e^((-n^beta)*x^2)|=1 $
allora non ho convergenza uniforme su tale intervallo.
3) La convergenza uniforme in $ ( delta, +oo) $
in questo caso: $ lim_(n -> oo) Sup |f_n(x)-g(x)| = lim_(n -> oo) Sup_(\ \ x in (+delta,+oo)) |e^((-n^beta)*x^2)|=0 $
allora ho convergenza assoluta.
nelle 2 domande precedenti, mi è richiesta anche la convergenza totale. Io però credo che la domanda sia mal posta, poichè la convergenza totale non è definita solo per le serie?
In definitiva, non ho trovato alcuna influenza del parametro beta. Spero mi possiate aiutare, grazie a tutti!
Risposte
Innanzitutto, la convergenza assoluta e la convergenza totale non sono modi di convergenza per le successioni di funzioni (mentre lo sono per le serie)... Volevi scrivere uniforme?
O hai proprio sbagliato a riportare la traccia?
Per la seconda questione, la successione converge puntualmente su tutto $RR$ alla funzione $g$, e la convergenza non è uniforme per noti fatti di teoria.
Visto che i problemi si accumulano intorno a $0$, è chiaro che non recuperi convergenza uniforme se consideri intervalli contenenti o con un estremo in $0$; quindi vai direttamente a vedere cosa accade in intervalli $(a,b)$ con entrambi gli estremi positivi o negativi.Per parità, basta analizzare il caso $a>0$.
Per monotonia, l’estremo superiore di $|f_n-g|$ in $(a,b)$ è preso in $a$ e vale $f_n(a)=e^(-an^beta)$, perciò hai convergenza uniforme in $(a,b)$ (osserva che l’intervallo è generico, può essere chiuso o aperto, limitato superiormente o no).
P.S.: in questo problema il parametro serve come il due di briscola.
O hai proprio sbagliato a riportare la traccia?
Per la seconda questione, la successione converge puntualmente su tutto $RR$ alla funzione $g$, e la convergenza non è uniforme per noti fatti di teoria.
Visto che i problemi si accumulano intorno a $0$, è chiaro che non recuperi convergenza uniforme se consideri intervalli contenenti o con un estremo in $0$; quindi vai direttamente a vedere cosa accade in intervalli $(a,b)$ con entrambi gli estremi positivi o negativi.Per parità, basta analizzare il caso $a>0$.
Per monotonia, l’estremo superiore di $|f_n-g|$ in $(a,b)$ è preso in $a$ e vale $f_n(a)=e^(-an^beta)$, perciò hai convergenza uniforme in $(a,b)$ (osserva che l’intervallo è generico, può essere chiuso o aperto, limitato superiormente o no).
P.S.: in questo problema il parametro serve come il due di briscola.
Ti ringrazio e mi scuso per la risposta tardiva.
Si scusami per la confusione, ovviamente intendevo puntuale ed uniforme, anche se sul testo (in 2 quesiti) chiede di determinare anche la convergenza totale, ma come ho scritto credo ci sia un errore in quanto il concetto di convergenza totale è un modo di convergenza unicamente per le serie. per il resto ti ringrazio per la risposta, sei stato molto chiaro.
Si scusami per la confusione, ovviamente intendevo puntuale ed uniforme, anche se sul testo (in 2 quesiti) chiede di determinare anche la convergenza totale, ma come ho scritto credo ci sia un errore in quanto il concetto di convergenza totale è un modo di convergenza unicamente per le serie. per il resto ti ringrazio per la risposta, sei stato molto chiaro.
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