Studio della convergenza di serie di potenze complessa
Di nuovo buonasera a tutti. Domando conferma intorno allo svolgimento del seguente esercizio:
Svolgimento:
Punto (i)
Si ha che \(\displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \sup \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)} \). In questo caso il limite superiore è un limite vero e proprio, e si ha \(\displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)}=\lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)} \cdot \frac{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}}{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right)}{\frac{1}{n^{\alpha}}}} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}=1\). Concludo quindi che \(\displaystyle R=1 \).
Per il criterio di Cauchy-Hadamard la serie di potenze:
1. converge assolutamente in ogni punto \(\displaystyle z \in \left\{z \in \mathbb{C} \ : \ |z|<1 \right\} \);
2. converge uniformemente su ogni insieme \(\displaystyle A_{\delta}= \left \{z \in \mathbb{C} \ : \ |z|\le \delta<1 \right \} \);
3. non converge nei punti \(\displaystyle z \in \mathbb{C} \) tali che \(\displaystyle |z|>1 \).
Ho quindi già messo in cassaforte un bel po' di informazioni.
Punto (ii)
Se \(\displaystyle |z|=1 \) la mia serie di partenza sarà del tipo \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \cdot e^{in\theta} \ \left[1 \right] \] con \(\displaystyle \theta \in [0,2\pi) \).
Comincio con lo studio della convergenza della serie \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \cdot e^{in \theta} \right|= \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \ \left[2\right] \]
Noto che \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right)}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=1\), quindi per il criterio del confronto asintotico la [2] converge se e solo se converge la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \). Questo è vero solo se \(\displaystyle \alpha >1 \).
Se \(\displaystyle 0<\alpha\le 1 \), la serie armonica e la [2] non convergono (divergono).
Posso pertanto concludere che, se \(\displaystyle \alpha >1 \), anche la [1] converge.
Voglio ora capire come si comporta la [1] se \(\displaystyle 0<\alpha\le 1 \).
Noto che la successione \(\displaystyle a_{n}=\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \) è infinitesima e decrescente, mentre la serie \(\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} e^{ik \theta} \right | = \left | \frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}} \right | \le \left | \frac{1}{1-e^{i\theta}} \right| + \left |\frac{e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}} \right |= \frac{2}{|1-e^{i\theta}|} \) è evidentemente limitata, quindi la [1] converge anche se \(\displaystyle 0<\alpha \le 1 \), per il criterio di Abel-Dirichlet.
Punto (iii)
Per la convergenza uniforme, si vedano le informazioni fornite dal criterio di Cauchy-Hadamard.
Quanto alla convergenza totale, osservo che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{z \in A} \ \left | \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) \cdot z^{n} \right |= \sum_{n=1}^{\infty} \left | \sin \left (\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \right |\)*, ma la discussione della convergenza di questa serie è già stata effettuata.
*\(\displaystyle A= \left \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |z|\le\delta <1 \right \} \)
Grazie a tutti in anticipo!
Sia \(\displaystyle \alpha > 0 \) e si consideri la serie di potenze complessa \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) z^{n} \]
i) Calcolare il raggio di convergenza \(\displaystyle R \) della serie;
ii) Discutere la convergenza nei punti \(\displaystyle z \in \mathbb{C} \) con \(\displaystyle |z|=R \);
iii) Discutere la convergenza totale e uniforme della serie.
Svolgimento:
Punto (i)
Si ha che \(\displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \sup \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)} \). In questo caso il limite superiore è un limite vero e proprio, e si ha \(\displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)}=\lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt[n]{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)} \cdot \frac{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}}{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right)}{\frac{1}{n^{\alpha}}}} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}=1\). Concludo quindi che \(\displaystyle R=1 \).
Per il criterio di Cauchy-Hadamard la serie di potenze:
1. converge assolutamente in ogni punto \(\displaystyle z \in \left\{z \in \mathbb{C} \ : \ |z|<1 \right\} \);
2. converge uniformemente su ogni insieme \(\displaystyle A_{\delta}= \left \{z \in \mathbb{C} \ : \ |z|\le \delta<1 \right \} \);
3. non converge nei punti \(\displaystyle z \in \mathbb{C} \) tali che \(\displaystyle |z|>1 \).
Ho quindi già messo in cassaforte un bel po' di informazioni.
Punto (ii)
Se \(\displaystyle |z|=1 \) la mia serie di partenza sarà del tipo \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \cdot e^{in\theta} \ \left[1 \right] \] con \(\displaystyle \theta \in [0,2\pi) \).
Comincio con lo studio della convergenza della serie \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \cdot e^{in \theta} \right|= \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \ \left[2\right] \]
Noto che \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right)}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=1\), quindi per il criterio del confronto asintotico la [2] converge se e solo se converge la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \). Questo è vero solo se \(\displaystyle \alpha >1 \).
Se \(\displaystyle 0<\alpha\le 1 \), la serie armonica e la [2] non convergono (divergono).
Posso pertanto concludere che, se \(\displaystyle \alpha >1 \), anche la [1] converge.
Voglio ora capire come si comporta la [1] se \(\displaystyle 0<\alpha\le 1 \).
Noto che la successione \(\displaystyle a_{n}=\sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \) è infinitesima e decrescente, mentre la serie \(\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} e^{ik \theta} \right | = \left | \frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}} \right | \le \left | \frac{1}{1-e^{i\theta}} \right| + \left |\frac{e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}} \right |= \frac{2}{|1-e^{i\theta}|} \) è evidentemente limitata, quindi la [1] converge anche se \(\displaystyle 0<\alpha \le 1 \), per il criterio di Abel-Dirichlet.
Punto (iii)
Per la convergenza uniforme, si vedano le informazioni fornite dal criterio di Cauchy-Hadamard.
Quanto alla convergenza totale, osservo che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{z \in A} \ \left | \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) \cdot z^{n} \right |= \sum_{n=1}^{\infty} \left | \sin \left (\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \right |\)*, ma la discussione della convergenza di questa serie è già stata effettuata.
*\(\displaystyle A= \left \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |z|\le\delta <1 \right \} \)
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Sì, mi sembra vada bene. Però
qui hai che $"sup"_(z in A_delta) |sin(1/n^alpha) z^n| = max_(z in A_delta) |sin(1/n^alpha) z^n| = |sin(1/n^alpha) delta^n|$. Ti sembra?
E quindi $sum |sin(1/n^alpha) | * delta^n < +oo$ , $AA alpha > 0$.
Altrimenti, come hai scritto tu, puoi concludere solo che converge totalmente per $alpha > 2$.
Ho scritto un po' velocemente, controlla se le mie osservazioni sono corrette.
"Delirium":
Punto (iii)
Per la convergenza uniforme, si vedano le informazioni fornite dal criterio di Cauchy-Hadamard.
Quanto alla convergenza totale, osservo che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{z \in A} \ \left | \sin \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) \cdot z^{n} \right |= \sum_{n=1}^{\infty} \left | \sin \left (\frac{1}{n^{\alpha}} \right) \right |\)
qui hai che $"sup"_(z in A_delta) |sin(1/n^alpha) z^n| = max_(z in A_delta) |sin(1/n^alpha) z^n| = |sin(1/n^alpha) delta^n|$. Ti sembra?
E quindi $sum |sin(1/n^alpha) | * delta^n < +oo$ , $AA alpha > 0$.
Altrimenti, come hai scritto tu, puoi concludere solo che converge totalmente per $alpha > 2$.
Ho scritto un po' velocemente, controlla se le mie osservazioni sono corrette.
Seneca, perdona il ritardo nella risposta. Ti ringrazio per la precisazione.
Qui però
intendevi per \(\displaystyle \alpha>1 \), giusto?
Qui però
"Seneca":
Altrimenti, come hai scritto tu, puoi concludere solo che converge totalmente per \(\displaystyle \alpha>2 \)
intendevi per \(\displaystyle \alpha>1 \), giusto?
Figurati. Sì, certamente... Avrei dovuto scrivere $alpha > 1$.
Perfetto. Grazie di nuovo.
Per quanto riguarda il comportamento della serie sul bordo del cerchio di convergenza si può usare un noto teorema di Picard per dire che essa converge ovunque sul bordo, eccezion fatta tutto al più per il punto \(1\): infatti le ipotesi del teorema sono verificate, perchè la successione dei coefficienti \(\sin 1/n^\alpha\) è non negativa e decrescente.
A questo punto basta capire cosa succede in \(1\): per \(z=1\) la serie si riduce alla serie numerica reale \(\sum \sin \frac{1}{n^\alpha}\), la quale converge per \(\alpha >1\) e diverge altrimenti (confronto asintotico con la serie armonica generalizzata).
Ergo, la serie di potenze \(\sum \sin \frac{1}{n^\alpha}\ z^n\) converge in tutto il disco chiuso \(\overline{D}(0;1)\) se \(\alpha >1\) e converge in \(\overline{D}(0;1)\setminus \{1\}\) se \(0<\alpha \leq 1\).
A questo punto basta capire cosa succede in \(1\): per \(z=1\) la serie si riduce alla serie numerica reale \(\sum \sin \frac{1}{n^\alpha}\), la quale converge per \(\alpha >1\) e diverge altrimenti (confronto asintotico con la serie armonica generalizzata).
Ergo, la serie di potenze \(\sum \sin \frac{1}{n^\alpha}\ z^n\) converge in tutto il disco chiuso \(\overline{D}(0;1)\) se \(\alpha >1\) e converge in \(\overline{D}(0;1)\setminus \{1\}\) se \(0<\alpha \leq 1\).
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