Studio della continuità funzione due variabili

[75america]

Salve raga,
ho questa funzione di un compito di analisi II(si avvicina ):
$[log(1+xy)]/[sqrt(x^2+y^2)]$, allora il compito mi chiede di studiare la continuità, io ho sfruttato la proprietà che dice:
$lim_(x->x_0)f(x,y_0)=lim_(y->y_0)f(x_0,y)=l$
allora: $lim_(x->0) log1/[sqrt(x^2)]=log1/|x|=0$
$lim_(y->0) log1/|y|=0$
quindi il limite è uguale per tutti e due la funzione è continua
Ma ho fatto bene?

[gugo82]

"75america":Salve raga,
ho questa funzione di un compito di analisi II(si avvicina ):
$[log(1+xy)]/[sqrt(x^2+y^2)]$, allora il compito mi chiede di studiare la continuità, io ho sfruttato la proprietà che dice:
$lim_(x->x_0)f(x,y_0)=lim_(y->y_0)f(x_0,y)=l$
allora: $lim_(x->0) log1/[sqrt(x^2)]=log1/|x|=0$
$lim_(y->0) log1/|y|=0$
quindi il limite è uguale per tutti e due la funzione è continua
Ma ho fatto bene?

Quella che dici è una condizione necessaria alla continuità, ma purtroppo non è sufficiente.

Prova a ricordare i limiti fondamentali.
Per $x!=0!=y$ hai:

$ln(1+xy)/\sqrt(x^2+y^2)=ln(1+xy)/(xy)*(xy)/\sqrt(x^2+y^2)$

quando $(x,y)\to (0,0)$ hai $xy\to 0$, e per il limite fondamentale anche $lim_((x,y)\to(0,0))ln(1+xy)/(xy)=1$, quindi basta guardare cosa fa in $(0,0)$ la funzione:

$(xy)/\sqrt(x^2+y^2) \quad$.

[75america]

allora non serve nemmeno quella $lim_(x->x_0) f(x,y_0+m(x-x_0))=l$ ?
CIoè quali posso applicare per trovare la continuità , solo i limiti notevoli, non c'è strada più facile?
cmq quello che hai applicato tu l'ha applicato la prof nel compito, che genio beato te

[75america]

scusa non ho capito quando dici:
quando (x,y)->(0,0) hai xy->0, mi potresti spiegare che significa, cioè stai già facendo il limite mi trovo con quel limite notevole di dopo.

[gugo82]

"75america":allora non serve nemmeno quella $lim_(x->x_0) f(x,y_0+m(x-x_0))=l$?
CIoè quali posso applicare per trovare la continuità , solo i limiti notevoli, non c'è strada più facile?

Non è che non servono... Devi saperle usare, ecco tutto.

Quelle di prima sono condizioni necessarie e come tali vanno usate come "test preliminari": se sono verificate si approfondisce la questione; altrimenti si conclude che la funzione non può essere continua.

Anche questa che hai scritto ora è una condizione solo necessaria.
Infatti il valore $l$ del limite può dipendere dal parametro $m$ (e perciò sarebbe meglio scrivere $l(m)$ al posto di $l$); se $l(m)$ assume valori distinti per due valori di $m$, allora la funzione non può essere continua, mentre se $l(m)=l$ per ogni $m$ allora bisogna approfondire la questione (non è detto che la funzione sia continua: esempio classico $f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$).

"75america":cmq quello che hai applicato tu l'ha applicato la prof nel compito, che genio beato te

Questione di allenamento.
Gli esercizi, bene o male, si somigliano tutti perchè si poggiano tutti sulla stessa teoria.*

________
* Questa è una di quelle questioni che, ad esempio, gli ingegneri non capiscono fino in fondo.
Ad esempio, se chiedete ad un ingegnere edile di spiegarvi se c'è un metodo generale per risolvere le strutture di Scienza delle Costruzioni la risposta è del tipo: "Nooo... Quelli sono tutti esercizi uno diverso dall'altro!"
Provare per credere!

[gugo82]

"75america":scusa non ho capito quando dici:
"quando $(x,y)->(0,0)$ hai $xy->0$",
mi potresti spiegare che significa, cioè stai già facendo il limite mi trovo con quel limite notevole di dopo.

Il "piano" è fare una sostituzione di variabili per mettere in opera il limite fondamentale: in particolare visto che so che:

(*) $\quad lim_(z\to 0)(ln(1+z))/z=1$

e visto che il numeratore del tuo problema somiglia molto a quello di (*), l'idea è:

"Vuoi vedere che, prendendo $z=xy$, trovo qualcosa che tende a $0$ quando $(x,y)\to (0,0)$ e posso fare una bella sostituzione in (*)?"

Invero hai $|xy|<=1/2(x^2+y^2)$ (ciò si vede sviluppando i quadrati nelle disuguaglianze ovvie $(x+y)^2>=0, (x-y)^2>=0$ ed esplicitando tutto rispetto a $xy$), quindi:

$0<=|xy|<=1/2(x^2+y^2)$

e per il teorema dei carabinieri è $lim_((x,y)\to (0,0)) xy=0$.
Allora possiamo mettere $z=xy$ in (*) e concludere che vale l'uguaglianza:

$lim_((x,y)\to (0,0)) (ln(1+xy))/xy=1 \quad$.

[75america]

$lim_((x,y)->(0,0)) x^4/(x^2+y^2)=0$
si fa così dice sul libro:
$x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$.
Perciò $AA$ $\epsilon>0$, posto $\delta=sqrt\epsilon$, si ha:
$sqrt(x^2+y^2)<\delta->|x^4/(x^2+y^2)-0|<\epsilon$
scusa ma quello 0 alla fine che poi è il limite ma come l'ha trovato con sta $\epsilon$ e $\delta$, mi spieghi.
Poi comunque nel compito non posso farlo così, ha detto la prof che non posso metterci ne $\epsilon$ ne $\delta$ e quindi come dovrei fare, seppure ho la disuguaglianza iniziale?
Grazie ancora per l'aiuto, ma sei(o sei stato) studente alla Federico II?

[gugo82]

"75america":$lim_((x,y)->(0,0)) x^4/(x^2+y^2)=0$ si fa così dice sul libro:

$x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$.

Perciò $AA$ $\epsilon>0$, posto $\delta=sqrt\epsilon$, si ha:

$sqrt(x^2+y^2)<\delta => |x^4/(x^2+y^2)-0|<\epsilon$

scusa ma quello $0$ alla fine che poi è il limite ma come l'ha trovato con sta $\epsilon$ e $\delta$, mi spieghi?
Poi comunque nel compito non posso farlo così, ha detto la prof che non posso metterci né $\epsilon$ né $\delta$ e quindi come dovrei fare, seppure ho la disuguaglianza iniziale?

Allora...
Una cosa è calcolare il limite (con limiti fondamentali, teoremi di confronto, sviluppi in serie, etc...), un'altra cosa è verificare il calcolo con la definizione di limite (con la definizione in termini di $epsilon-delta$). Infatti, visto che nella definizione di limite in $(x_0,y_0)$:

(d) $\quad AA epsilon >0, exists delta >0: AA (x,y) \in D " con " 0<\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
è presente il valore effettivo del limite, ossia $L$, prima di usarla per verificare il limite bisogna farsi un'idea di quale sia il giusto valore di $L$; pertanto prima si calcola il "giusto" valore di $L$, poi casomai si fa la verifica usando la (d).

[size=75]Apro e chiudo parentesi: queste cose dovresti averle chiare già da Analisi I...[/size]

Nel caso in esame, vuoi sapere se esiste ed eventualmente calcolare il:

$lim_((x,y)-> (0,0)) x^4/(x^2+y^2) \quad$.

Ora ti accorgi innanzitutto che la tua $f(x,y)=x^4/(x^2+y^2)$ è definita in $RR^2\setminus \{ (0,0)\}$, che essa è $>=0$ (quindi già puoi escludere, ad esempio, che quel limite valga $-oo$ o che sia negativo) ed è continua in ogni punto dov'è definita.
Se calcoli le restrizioni di $f$ agli assi coordinati trovi:

$f(x,0)=x^2$ (restr. all'asse $x$)
$f(0,y)=0$ (restr. all'asse $y$)

e tali restrizioni hanno:

$lim_(x-> 0) f(x,0)=0 \quad$ e $\quad lim_(y-> 0) f(0,y)=0$

cosicché è verificata una condizione necessaria affinché risulti pure:

(*) $\quad lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)=0 \quad$.

Ne viene che $L=0$ è (l'unico) buon candidato ad essere il limite di $f$ in $(0,0)$; devi adesso vedere se è effettivamente possibile provare che vale la relazione di limite (*).
Visto che la tua funzione è $>=0$ e che in (*) hai $L=0$, una buona strategia sembra cercare di sfruttare il Teorema dei carabinieri: quindi l'obiettivo è trovare una funzione $g(x,y)$ che goda di queste due proprietà:

1) $0<=f(x,y)<=g(x,y)$ in $\RR^2\setminus \{ (0,0)\}$ (o almeno sufficientemente vicino a $(0,0)$);
2) $lim_((x,y)->(0,0)) g(x,y)=0$ e si possa calcolare semplicemente.

Per determinare una $g$ che goda di 1-2) è possibile ragionare così: per ogni $(x,y)\in \RR^2$ hai evidentemente $x^2<=x^2+y^2$ da cui segue:

$x^4<=x^2(x^2+y^2) => " quindi per " (x,y)!=(0,0) " hai " f(x,y)=x^4/(x^2+y^2)<=x^2 \quad$;

pare una buona scelta porre $g(x,y)=x^2$, giacché dalla relazione precedente segue che $g$ gode della 1).
Infine ti basta mostrare che vale la 2): in effetti si ha:

$lim_((x,y)->(0,0)) g(x,y)=lim_((x,y)->(0,0)) x^2=0$

e $g$ gode pure della 2).
Allora applicando il Teorema dei carabinieri trovi:

$0<= lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)<=lim_((x,y) -> (0,0)) g(x,y)=0 => lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)=0$

proprio come pensavi.

P.S.: Chi è la prof.?

"75america":Grazie ancora per l'aiuto, ma sei (o sei stato) studente alla Federico II?

Sono stato studente; ora ho iniziato il dottorato in Matematica.

[75america]

Prof.D'Auria, sto a ingegneria informatica