Studio del limite (limiti notevoli)

[luna921]

limiti esercizio esame... mi potete spiegare e farmi capire per favore...vi prego.. grazie mille...
si studi il limite
\( \lim_{x\rightarrow 0} 3log(4x-2sin(2x)+1)cos(tan(x))\div 8x^2cos(x+\pi )arctan(x) \)

[Nico769]

Ciao, ti consiglio di rivedere un attimo il LaTeX... Per caso, intedevi questo?

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac {3log(4x-2sin(2x)+1)cos(tan(x))} {8x^2cos(x+\pi )arctan(x)}$

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[francicko]

Si tratta di un limite non risolvibile con il solo ausilio dei limiti notevoli, in quanto nell'argomento del logaritmo compare una differenza di infinitesimi, per cui e' necessario usare taylor od Hopital; opterei per il primo in quanto il secondo comporta lungaggini nei calcoli;
Essendo $tanx$ asintotico ad $x$, $cos0=1$, $arctanx$ asintotico ad $x$, $cos(0+pi)=cos(pi)=-1$, sostituendo possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0)3log(4x-2sin(2x)+1)/(-8x^3)$, usando gli sviluppi in serie di taylor ed essendo che $log(1+8x^3/3)$ e' asintotico ad $8x^3/3$ otteniamo: $lim_(x->0)(3log(4x-4x+(8x^3)/3+o(x^3)+1))/(-8x^3)=lim_(x->0)(log(1+8x^3/3))/(-8x^3/3)=lim_(x->0)(8x^3/3)/(-8x^3/3)=-1$.
Volendo applicare Hopital, conviene partire dal:
$ lim_(x->0)3log(4x-2sin(2x)+1)/(-8x^3) $ ed osservando che $log (4x-2sin (2x)+1) $ e' asintotico ad $4x-2sin (2x)$, sostituendo avremo $lim_(x->0)(4x-2sin(2x))/(-8x^3)$, che da ancora una forma indeterminata $0/0$, a questo punto possiamo applicare Hopital ed otteniamo $lim_(x->0)3×(4-4cos (2x ))/(-24x^2)$, ricordando le formule di duplicazione di $cos (2x)=1-2sin^2 (2x) $, e sostituendo avremo ancora $lim_(x->0)(3×8×sin^2(x))/(-24x^2)=limx^2/(-x^2)=-1$, essendo $sin^2 (x)~x^2$, credo non ci siano altri modi per arrivare alla soluzione.

[francicko]

O mi sbaglio?

[francicko]

C'è qualcuno che cortesemente può controllare se lo svolgimento del limite è correttp?
Grazie!

[dan952]

Pure a me viene -1 per essere più sicuro controlla con wolfram