Studio convergenza serie con seno e coseno
Devo studiare la convergenza della serie
sum_(n =1 \ldots) (-1)^n*cos(3/(4*n))*sen(2/n)
Studio prima la convergenza assoluta e noto che facendo il limite a infinito della serie fa 0, deduco che PUò convergere.
Bene, e ora?
sum_(n =1 \ldots) (-1)^n*cos(3/(4*n))*sen(2/n)
Studio prima la convergenza assoluta e noto che facendo il limite a infinito della serie fa 0, deduco che PUò convergere.
Bene, e ora?
Risposte
Ciao, a questo punto puoi utilizzare il criterio del confronto asintotico notando che:
\[\lim_{n \to \infty }\frac{cos(\frac{3}{4n})sen(\frac{2}{n})}{\frac{2}{n}}=1\,\,\Rightarrow \,\,cos(\frac{3}{4n})sen(\frac{2}{n})\sim _{n \to \infty }\,\,\frac{2}{n}\]
dunque la serie di partenza ha il medesimo carattere della serie
\[2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\]
Chiaramente si tratta della serie armonica il cui carattere è noto e sappiamo che diverge. Puoi concludere che la tua serie non converge assolutamente. Tuttavia non è ancora detta l'ultima parola, infatti il termine generico in modulo è decrescente, per il criterio di Leibniz puoi concludere che converge.
\[\lim_{n \to \infty }\frac{cos(\frac{3}{4n})sen(\frac{2}{n})}{\frac{2}{n}}=1\,\,\Rightarrow \,\,cos(\frac{3}{4n})sen(\frac{2}{n})\sim _{n \to \infty }\,\,\frac{2}{n}\]
dunque la serie di partenza ha il medesimo carattere della serie
\[2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\]
Chiaramente si tratta della serie armonica il cui carattere è noto e sappiamo che diverge. Puoi concludere che la tua serie non converge assolutamente. Tuttavia non è ancora detta l'ultima parola, infatti il termine generico in modulo è decrescente, per il criterio di Leibniz puoi concludere che converge.
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