Studio convergenza serie
devo studiare la convergenza della serie [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{n}[/tex]
devo usare il confronto asintodico?
cioè posso fare [tex]\frac{1-\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{n} * \frac{1+\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{1+\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}=\frac{\frac{1}{9n^2}}{n(1+\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}})}[/tex]
devo usare il confronto asintodico?
cioè posso fare [tex]\frac{1-\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{n} * \frac{1+\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}{1+\ \sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}=\frac{\frac{1}{9n^2}}{n(1+\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}})}[/tex]
Risposte
Ti sei perso un meno per strada, il che quindi ti impone di studiare la convergenza assoluta, per cui alla fine ti ritrovi la successione che hai scritto in ultimo.
A questo punto puoi usare, perchè no, il confronto asintotico, la successione è $1/n^2$, e il limite ti viene $0$ e quindi hai la convergenza assoluta, ergo la convergenza.
A questo punto puoi usare, perchè no, il confronto asintotico, la successione è $1/n^2$, e il limite ti viene $0$ e quindi hai la convergenza assoluta, ergo la convergenza.
dove lo ho perso il meno?
il limite non verrebbe [tex]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{\frac{1}{9n^2}}{n(1+\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}})}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{9}[/tex]?
c'è un criterio che mi dice che la devo confrontare con [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]piuttosto che con un altra successione?
Quali sono altri metodi per lo studio della convergenza?
il limite non verrebbe [tex]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{\frac{1}{9n^2}}{n(1+\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}})}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{9}[/tex]?
c'è un criterio che mi dice che la devo confrontare con [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]piuttosto che con un altra successione?
Quali sono altri metodi per lo studio della convergenza?
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, è uguale al quadrato del primo monomio meno quello del secondo, quindi $1$ se ne va con $-1$ ma il meno cambia segno anche all'altro addendo che forma il radicando.
Il limite è $0$ perchè hai un $n$ che moltiplica tutto a denominatore. Il criterio che ti dice con quale serie devi fare il confronto non c'è, cioè caso per caso devi valutare quale sia la migliore tra quelle che convergono e i cui termini sono positivi.
Il limite è $0$ perchè hai un $n$ che moltiplica tutto a denominatore. Il criterio che ti dice con quale serie devi fare il confronto non c'è, cioè caso per caso devi valutare quale sia la migliore tra quelle che convergono e i cui termini sono positivi.
se non ti rompe, potresti mettere i passaggi dello svolgimento del limite?
almeno capisco...
almeno capisco...
Mi ci vuole mezzo secolo, ti mostro un esempio analogo: $((1/a))/b = 1/(a*b)$ ora sostituisci i termini dipendenti da $n$ al posto di $a$ e $b$.
continuo a non capire....puoi anche farlo a mano e scannerizzarlo...te ne sarei infinitamente grato...
$(1/(9n^2)) / (n*(1+sqrt(1+1/(n^2)))) = 1/(9n^(3) *(1+sqrt(1+1/(n^2))))$
$(1/(9n^(3) *(1+sqrt(1+1/(n^2)))))/(1/n^2) = (n^2)/(9n^(3) *(1+sqrt(1+1/(n^2)))) = 1/(9n*(1+sqrt(1+1/(n^2))))$
$(1/(9n^(3) *(1+sqrt(1+1/(n^2)))))/(1/n^2) = (n^2)/(9n^(3) *(1+sqrt(1+1/(n^2)))) = 1/(9n*(1+sqrt(1+1/(n^2))))$
e quindi il [tex]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{9n(1+\sqrt{1+\frac{1}{9n^2}}}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]
giusto?
perche [tex]9n=9 * \infty = \infty[/tex]
[tex]\frac{1}{9n^2}=\frac{1}{9* \infty}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]
[tex]\sqrt{1}=1[/tex]
[tex]\infty *2=\infty[/tex]
e alla fine [tex]\frac{1}{\infty}=0[/tex]
grazie mille...che programma usi per scrivere in latex?
giusto?
perche [tex]9n=9 * \infty = \infty[/tex]
[tex]\frac{1}{9n^2}=\frac{1}{9* \infty}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]
[tex]\sqrt{1}=1[/tex]
[tex]\infty *2=\infty[/tex]
e alla fine [tex]\frac{1}{\infty}=0[/tex]
grazie mille...che programma usi per scrivere in latex?
Si giusto.
Scrivo a mano, non è molto professionale, ma con il copia incolla si fa miracoli!
Scrivo a mano, non è molto professionale, ma con il copia incolla si fa miracoli!
ok grazie mille,
ma visto che mi viene zero, come faccio a dire, che converge?
ma visto che mi viene zero, come faccio a dire, che converge?
LOL, perchè puoi supporre $ 0<=|a_n|/b_n < epsilon$ e quindi $|a_n| < b_n*epsilon$ definitivamente, e quindi per il teorema del confronto, poichè la serie i cui termini sono $b_n*epsilon$ converge, allora converge assolutamente anche la prima, ergo converge.
grazie mille. un altra cosa che non centra con le serie,
calcolare se possibile [tex]\frac{d}{dt}F(t)[/tex] dove [tex]F(t)=f(\gamma (t))[/tex] con [tex]f(x,y)=arctg \frac{y}{x}[/tex] e [tex]\gamma (t) = (2t,t^2+1)[/tex]
verrebbe
[tex]- \frac{1}{1+4t^2}*2 + \frac{1}{1+(t^2+1)^2}*2t[/tex][/tex]
calcolare se possibile [tex]\frac{d}{dt}F(t)[/tex] dove [tex]F(t)=f(\gamma (t))[/tex] con [tex]f(x,y)=arctg \frac{y}{x}[/tex] e [tex]\gamma (t) = (2t,t^2+1)[/tex]
verrebbe
[tex]- \frac{1}{1+4t^2}*2 + \frac{1}{1+(t^2+1)^2}*2t[/tex][/tex]
Beh devi fare una semplice derivata di una funzione composta, non vedo sto grosso problema, ma non so a occhio qualcosa non mi torna, a numeratore non hai quasi nulla.
infatti, la derivata rispetto a x di [tex]arctg \frac{y}{x}[/tex] non è [tex]- \frac{1}{1+x^2}[/tex] che calcolata in [tex]\gamma (t)[/tex] è uguale a [tex]- \frac{1}{1+(2t)^2}[/tex] no? il tutto poi moltiplicato per la derivata della prima componente di gamma, no?
No, non è quella la derivata rispetto a $x$ ti sei dimenticato di $y$ e della derivata di $1/x$ $f_x = (1/(1+(y/x)^2))*(-y/x^2)$
e quindi quale sarebbe?
$f_x = (1/(1+(y/x)^2))*(-y/x^2) = (-y)/(x^2 + y^2)$
?????
Quando derivi rispetto a $x$ devi considerare $y$ costante, e la funzione composta. Idem quando derivi rispetto a $y$ allora $x$ è costante.
Poi procedi come sai, buona notte ora. Un altro po' e metto davvero il mio IBAN
Poi procedi come sai, buona notte ora. Un altro po' e metto davvero il mio IBAN
proprio non capisco...
quindi la derivata rispetto a y di [tex]arctg y = \frac{1}{1+y^2}[/tex]?
quindi la derivata rispetto a y di [tex]arctg y = \frac{1}{1+y^2}[/tex]?
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