Studio convergenza serie

[87Fra87]

Come da titolo come studio questa la convergenza della serie?
Quale criterio uso?

$ sum_(n =0)^(+oo) (sin(1/n) - arctan(1/n)) $

[Sk_Anonymous]

Prova ad utilizzare gli sviluppi in serie di Taylor (troncati).

[87Fra87]

Devo ancora studiare le serie di Taylor quindi non la so risolvere se esiste un altro metodo ben venga. comunque anche se ancora non le ho studiate come si risolve con Taylor?

[Sk_Anonymous]

"87Fra87":[...] comunque anche se ancora non le ho studiate come si risolve con Taylor?

Ricordando che \[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \quad \forall \, x \] e che \[\arctan(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad \text{per } |x|<1\]
Si ha per esempio che se \(n \to \infty\) \[\sin(1/n) = \frac{1}{n} - \frac{(1/n)^3}{6} + o \left( \left(\frac{1}{n} \right)^5 \right) \]e \[\arctan(1/n) = \frac{1}{n} - \frac{(1/n)^3}{3} + o \left( \left(\frac{1}{n} \right)^5 \right) \] e quindi \[\sin(1/n) - \arctan(1/n) = \frac{(1/n)^3}{6} + o \left( \left(\frac{1}{n} \right)^5 \right) \]e quindi si può concludere per il criterio del confronto asintotico.